DaiphongLT

Gọi I, K lần lượt đối xứng với D qua AB, AC
Tính chất quen thuộc: $\overline{I,E,F,K}$
$\Rightarrow DE+DF+EF=IK=2IG=2AI.sin\widehat{IAG}=2AD.sin\widehat{BAC}\leq AM.\sqrt{3}$ (G trung điểm IK)
$\sqrt{dấu = xảy ra khi ABC đều}$

 

Cho $\Delta ABC$, các đường cao AD, BE, CF. Gọi M, N là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BFD,\Delta CDE$ và P, Q là tâm (ABM), (ACN). Chứng minh MN//PQ

Gọi K trung điểm BC, khi đó (O) ngoại tiếp $\Delta ABC$ nằm trên AK
Dễ cm dc $\Delta ODA=\Delta OEB(c-g-c)$ hay OD=OE 
Do đó AEOD nội tiếp nên H là tâm (ADE) sẽ thuộc trung trực OA

Dễ cm dc AK vuông với EF nên MN//EF
Từ đó chỉ ra dc BMNC nội tiếp hay góc HNM= góc HBD=góc HDM nên HMDN nội tiếp
Từ đó có DN vuông với CF

$\Leftrightarrow 2x^2-10x+12+3(\sqrt{x-1}-1)+2(\sqrt{x+2}-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2}{\sqrt{x-2}+2}+2x+6)=0$
ngoặc 2 luôn > 0 nên $x=2$ 

$\sqrt{bài này mk có làm rồi}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}\geq \sum \frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}=2\sqrt{2}.\sum \frac{a^2}{a^2+3ab}\geq 2\sqrt{2}.\sum \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
 

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}=\frac{2x^2+5x+11}{x+7}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-(x+2)=\frac{2x^2+5x+11}{x+7}-(x+2)$
$\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-3}{\sqrt{2x^2+1}+x+2}=\frac{x^2-4x-3}{x+7}$
$\sqrt{đến đây chắc dễ rồi}$

HB.HC=$AH^2$ nên đưa về cái cần cm là AH^3=BD.CE.BC
Ta có BD.AB=$BH^2, CE.AC=HC^2, AB.AC=AH.BC$
Nhân 3 cái trên lại với nhau sẽ ra dpcm

$$2\sqrt{3- x}+ \sqrt{x+ 2}+ 1= 0 \tag{N e w t o n + R a p h s o n}$$

hình như đề sai r ạ

Từ M kẻ tiếp tuyến MH của (O)
dễ cm dc MTCH nội tiếp nên góc MAT = góc MHT = góc MCT = góc BAD hay AT vuông góc với AD, mà BD vuông góc với AD nên AT//BD

Cho ba số nguyên x,y,z thoả mãn xy+yz+zx+1 chia hết cho 24. Chứng minh rằng x+y+z+xyz cũng chia hết cho 24

xy+yz+xz+1 chia hết cho 24 suy ra xy+yz+xz+1 chia hết cho 3 và chia hết cho 8
TH1: cả 3 số x,y,z đều chia hết cho 3 (loại)

TH2: có 2 số chia hết cho 3 (loại)

TH3: có 1 số chia hết cho 3, giả sử số đó là x thì suy ra yz$\equiv 2(mod3)$ nên giả sử $y\equiv 1(mod2), z\equiv 2(mod3)$
từ đó x+y+z+xyz chia hết cho 3
TH4: không có số nào chia hết cho 3 $\Leftrightarrow y(x+z)+xz\equiv 2(mod3)$ nên $xz\equiv 2(mod3), y(x+z)\equiv 0(mod3)$ hoặc $xz\equiv 1(mod3), y(x+z)\equiv 1(mod3)$. đến đây lập luận 1 xíu cũng sẽ chứng minh dc x+y+z+xyz chia hết cho 3
tương tự với th mod 8

Thêm 1 sol nữa
Đặt $\sqrt{9x^2+16}=a, 3x=b$ thì ta có hệ pt sau: 
$\left\{\begin{matrix} 2b^2+2b+31+a-4ab=0 & \\ a^2-b^2=16 & \end{matrix}\right.$
Lấy 2 pt (2) cộng pt (1) sẽ dc $2a^2+2b-4ab+a-1=0\Leftrightarrow (2a-1)(a-2b+1)=0$

Giải phương trình: $12x\sqrt{9x^2+16}-6x=\sqrt{9x^2+16}+18x^2+31$
P/s: thấy hay nên post

$y^3+3y=(x+5)\sqrt{x+2}=\sqrt{(x+2)^3}+3\sqrt{x+2}$$\Rightarrow y=\sqrt{x+2}$
Thay vào pt (1) dc $8x\sqrt{x+2}+22\sqrt{x+2}+12x+25=\frac{1}{x^3}$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x+2}+1)^3=\frac{1}{x^3}$
đến đây chắc dễ rồi