Đến nội dung

DaiphongLT

DaiphongLT

Đăng ký: 21-03-2021
Offline Đăng nhập: 30-01-2024 - 16:40
****-

#742005 $AK\perp BC$

Gửi bởi DaiphongLT trong 04-11-2023 - 19:43

Mấy hôm nay ngồi chơi chơi với cái Geogebra thì đột nhiên nghĩ ra 1 bài toán khá lạ,đăng lên cho mọi người thảo luận:

 

Bài toán:Cho $\Delta ABC$ nhọn,đường cao $BE,CF$,$M$ là trung điểm $BC$.Giả sử $(BME),(CMF)$ có giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài là $K$ và $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.Chứng minh $AK\perp BC$

Chứng minh bài toán sau: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O), S$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của $(O), M$ trung điểm $BC. K$ thuộc $(O)$ sao cho $AK \perp BC,$ đường cao $BE, CF.$ Giả sử $AK=SM,$ khi đó $K$ là tâm vị tự ngoài của $(BME)$ và $(CMF)$
Gợi ý: Kẻ đường kính $AA'.SM, A'M$ cắt $(O)$ tại $T, N,$ chứng minh $K$ là tâm $(NMT)$ để suy ra $K, O_1,O_2, S$ thẳng hàng, để ý $KC$ tiếp xúc $(CMF), KB$ tiếp xúc $(BME)$ là được
Sau đó áp dụng bài toán trên vào bài toán ban đầu sẽ có đpcm




#741998 Chứng minh tâm (KHL) đối xứng với O qua A

Gửi bởi DaiphongLT trong 04-11-2023 - 14:15

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao BD,CE cắt nhau tại H, DE cắt (O) tại K,L CMR tâm (KHL) đối xứng với O qua A

Gọi $B', C'$ đối xứng với $B, C$ qua $CA, AB.$ Khi đó $B',L,H,K,C'\in \odot$
Gọi $O',O_1$ đối xứng với $O$ qua $A, AB$ thì $O'O_1//AB,$ cho $T$ trung điểm $HC',$ vì $C'$ thuộc $(AHB)$ nên $O_1T \perp HC$ hay $O_1T//AB$
Từ đó $\Rightarrow \overline{O',O_1,T}$ hay $O'$ thuộc trung trực $HB',$ tương tự có đpcm




#741900 Chứng minh $P$ nằm trên đường tròn Pedal của $O$ đối với...

Gửi bởi DaiphongLT trong 29-10-2023 - 09:24

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O),$ một đường tròn bất kì đi qua $B, C$ cắt $CA, AB$ tại $E, F. H$ là giao điểm của $BE$ và $CF, AH$ cắt $BC$ và $(O)$ lần lượt tại $D$ và $I. M$ là trung điểm $BC, L$ là giao điểm của $IM$ với $(O).$ Gọi $K$ là điểm liên hợp đẳng giác của $H$ trong tam giác $ABC. J$ nằm trên $AH$ sao cho $JK \perp AL.$ Đường thẳng qua $J$ song song với $OA$ cắt $EF$ tại $P.$ Chứng minh $P$ nằm trên đường tròn Pedal của $O$ đối với tam giác $DEF.$
geogebra-export (3).png




#741855 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Gửi bởi DaiphongLT trong 27-10-2023 - 07:28

Tiếp tục về mô hình này, mình có phát hiện được 2 bài toán sau:
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O), K$ là điểm Kosnita của tam giác $ABC. X, Y, Z$ lần lượt đối xứng với $K$ qua $BC, CA, AB.$ Gọi $H$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $KO=KH$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ trực tâm $H, K$ là điểm Kosnita của tam giác $ABC. X$ là giao điểm của $AH$ với $(O), BK, CK$ lần lượt cắt $(BHC)$ tại $Y, Z. BX, CX$ lần lượt cắt $(BHC)$ tại $U, V.$ Chứng minh $YZ, BC, UV$ đồng quy
Bài 4 (Sưu tầm): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ các đường phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.$ Chứng minh $OI$ đi qua tâm Euler của tam giác $DEF$
 




#741840 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Gửi bởi DaiphongLT trong 26-10-2023 - 09:07

Lời giải:
Bổ đề 1: Cho tam giác $ABC, P$ bất kì. Đường thẳng qua $P$ vuông góc $PA,PB,PC$ cắt $BC, CA, AB$ tại $X,Y,Z.$ Khi đó $X, Y, Z$ thẳng hàng (Bổ đề khá quen thuộc)
Bổ đề 2: Cho $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ.$ Khi đó các đường thẳng lần lượt qua $X$ vuông góc $BC,$ qua $Y$ vuông góc $CA,$ qua $Z$ vuông góc $AB$ đồng quy khi và chỉ khi các đường thẳng qua $A$ vuông góc $YZ,$ qua $B$ vuông góc $ZX,$ qua $C$ vuông góc $XY$ đồng quy (Hệ quả trực tiếp của định lí Carnot)
Gọi $K$ là điểm Kosnita của $\Delta ABC. D, E, F$ là hình chiếu của $K$ lên $BC,CA,AB. H$ là trực tâm $\Delta DEF, N$ là tâm Euler của $\Delta ABC$
$O'$ đối xứng với $O$ qua $BC,$ $A_a$ là tâm $(AOO').$ Định nghĩa $B_b, C_c$ tương tự, khi đó ta dễ thấy $\widehat{ANA_a}=90^{\circ}$ nên theo bổ đề 1 suy ra $\overline{A_a, B_b, C_c}$
Xét $I_{O}^{R^2}:(A_a)\leftrightarrow AO_a,$ để ý rằng $AO_a, BO_b, CO_c$ đồng quy tại $K$ do đó các đường tròn $(A_a), (B_b), (C_c)$ đồng trục với trục đẳng phương là $OK$ nên $\overline{A_a, B_b, C_c}\perp OK$
Áp dụng bổ đề 2 và hai tam giác $KEF$ và $NC_cB_b$ khi đó ta cũng có được $KH\perp \overline{A_a, B_b, C_c}$
Từ đây ta suy ra $\overline{O,K,H}$
Dễ chứng minh được 2 tam giác $DEF$ và $XYZ$ vị tự với nhau, do đó $OP$ đi qua $H$
Kết hợp hai kết quả trên, ta suy ra điều phải chứng minh
P/s: Lời giải của mình chưa được chỉnh chu, thiên về phần gợi ý khá nhiều, có một số kết quả chứng minh cũng khá dài, khi nào có thời gian mình sẽ hoàn thiện lời giải bài toán này sau
Một kết quả khác cũng rất hay là $\overline{HO}=3\overline{HK}$geogebra-export (1).png




#741776 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Gửi bởi DaiphongLT trong 18-10-2023 - 01:04

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O). O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm của $(OBC), (OCA), (OAB). XYZ$ là tam giác Cevian của $O$ đối với $\Delta O_aO_bO_c. P$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita của $\Delta ABC.$  
Định nghĩa điểm Kosnitahttps://vi.wikipedia...Định_lý_Kosnita




#741695 Chứng minh bốn điểm $B$, $Q$, $L$ và $C...

Gửi bởi DaiphongLT trong 12-10-2023 - 03:51

Gọi $O$ là tâm đường tròn $(ABC), P'$ đối xứng với $P$ qua $MN$
Dễ thấy $NP=NB, MP=MC$ nên biến đổi góc dễ có $P' \in (O) \Rightarrow AP'//MN \Rightarrow \overline{P',P,D}$
$\widehat{NPB}=\widehat{MPC}\Rightarrow LP\perp BC.$ Gọi $MN \cap BC=S,$ dễ thấy $SP'$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\overline{SL}.\overline{SQ}=SP^2={SP'}^2=\overline{SB}.\overline{SC}\Rightarrow \square .$




#741559 Tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $\left ( I_{1...

Gửi bởi DaiphongLT trong 29-09-2023 - 05:44

Cho tam giác $ABC$ nhọn($AB<AC$);đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$;$M$ là trung điểm $BC$.Gọi $\left ( I_{1} \right ),\left ( I_{2} \right ),\left ( J_{1} \right ),\left ( J_{2} \right )$ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác $AHB,AHC,MBF,MCE$;$K$ là giao của các tiếp tuyến chung trong của $\left ( J_{1} \right ),\left ( J_{2} \right )$.Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $\left ( I_{1} \right ),\left ( I_{2} \right )$;$HK$ và $BC$ đồng quy.

 

 

 

P\s:Lâu không quay lại diễn đàn :wacko:  :wacko:

https://artofproblem...unity/c6h487427
Dùng bổ đề này lầ được




#741558 Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I. (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F,...Chứng...

Gửi bởi DaiphongLT trong 29-09-2023 - 05:14

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt (ABC) tại P,Q. DQ cắt (ABC) tại H. Chứng minh AH vuông IP

Gọi $M$ trung điểm $BC.$ Dễ thấy $P,Q,D,M\in \odot$
Do đó $(PH,BC)=-1,$ gọi $AH \cap EF=J$ thì $(PJ,EF)=-1$ hay $P,J$ liên hợp với đường tròn $(I)$
Mà $P$ thuộc đối cực của $A$ đối với đường tròn $(I)$ nên $P,A$ liên hợp với đường tròn $(I)$
Từ đó $AJ \perp IP.$




#734744 Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

Gửi bởi DaiphongLT trong 01-09-2022 - 21:21

$\textbf{Bài toán}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $OI$ cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $IA,IB,IC$ cắt nhau tạo thành tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

attachicon.gif Screenshot (1889).png

Gọi $(I)$ tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Đầu tiên xét phép nghịch đảo cực $I$, phương tích $r^2$ (với $r$ là bán kính của đường tròn $(I)$), ta dễ chứng minh được $OI$ là đường thẳng Euler của tam giác $DEF$
Đổi mô hình bài toán về mô hình trực tâm như sau: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. $X, Y, Z$ lần lượt là giao điểm của $OH$ với $EF, FD, DE$. Đường thẳng qua $X, Y, Z$ lần lượt vuông góc với $HD, HE, HF$ cắt nhau tạo thành tam giác $GKJ$. Chứng minh $(GKJ)$ tiếp xúc $(DEF)$.
Vai trò của tam giác $DEF$ trong bài toán này chính là tam giác $ABC$ ở bài toán gốc. Do đó $OI$ ở bài toán gốc có vai trò như $OH$ ở bài toán này.
Chứng minh: Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. 
Ta có $\Delta JKG \sim MNP$ (các cạnh tương ứng song song) do đó $MJ, NK, PG$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy là $S$
Bổ đề: Gọi $OM$ cắt $(DEF)$ tại $X$. Khi đó $PY, XH, NZ$ đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$. Chứng minh bổ đề này không khó, chủ yếu là liên hệ các dây cung đặc biệt và dùng định lí Pascal nhiều lần, mình xin phép không chứng minh
Quay lại bài toán, gọi $PY, XH, NZ$ đồng quy tại $T$. Ta sẽ chứng minh $\Delta PYG\sim \Delta NZK$
Thật vậy: Gọi giao điểm $OH$ với $CA, AB$ là $Q, R$, ta có $\widehat{PYG}=\widehat{PYQ}$ $+$ $\widehat{GYQ}$ $=$ $\widehat{PTN}+\widehat{NZQ}$ $+$ $\widehat{AQR}$ $=$ $\widehat{BAC}$ $+$ $\widehat{NZQ}$ $+$ $180^{\circ}$ $-$ $\widehat{BAC}$ $-$ $\widehat{ARQ}$ $=$ $\widehat{NZQ}+\widehat{KZQ}=\widehat{NZK}$ $(1)$
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $\frac{PY}{NZ}=\frac{YG}{ZK}$ $(2)$
Ta có $\frac{YG}{ZK}=\frac{sin\widehat{YXG}.XY}{sin\widehat{YGX}}.\frac{sin\widehat{ZKX}}{XZ.sin\widehat{ZXK}}=\frac{XY}{XZ}.\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{ACB}}=\frac{XY}{XZ}.\frac{AC}{AB}=\frac{YF}{FD}.\frac{DE}{EZ}.\frac{AC}{AB}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{PY}{NZ}=\frac{YF}{FD}.\frac{DE}{EZ}.\frac{AC}{AB}$ hay $\frac{PY}{YF}.\frac{EZ}{NZ}=\frac{DE}{DF}.\frac{AC}{AB}$
Ta có $\frac{PY}{YF}.\frac{EZ}{NZ}=\frac{sin\widehat{ARQ}.RY}{sin\widehat{FPY}}.\frac{sin\widehat{BFD}}{sin\widehat{ARQ}.RY}.\frac{sin\widehat{AQR}.ZQ}{sin\widehat{DEC}}.\frac{sin\widehat{ZNQ}}{sin\widehat{AQR}.ZQ}=\frac{sin\widehat{ACB}}{sin\widehat{ABC}}.\frac{sin\widehat{EXH}}{sin\widehat{FXH}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE.sin\widehat{XEH}}{XH}.\frac{XH}{HF.sin\widehat{XFH}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE}{HF}.\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{ACB}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE}{HF}.\frac{AC}{AB} = \frac{HE}{HF}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{HE}{HF}=\frac{DE}{DF}.\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{HE}{DE}.\frac{DF}{HF}=\frac{AC}{AB}$ (hiển nhiên đúng). Vì vậy ta có $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có được $\Delta PYG\sim \Delta NZK$ $(g-g)$ $\Rightarrow \widehat{PGY}=\widehat{ZKN}$ hay $GKJS$ nội tiếp. Ở Mặt khác $GK//PN$ nên ta có đpcm.
$P/s:$ bài này của anh Nguyễn Duy Phước, mọi người có thể tham khảo bài toán này và trường hợp tổng quát hơn ở đây:https://artofproblem...165960p16088122
geogebra-export.png




#734658 tgABC nt(O) trực tâm H đg cao AD.CH cắt (AHB) tại M, N đntt. DM cắt (AHB) tại...

Gửi bởi DaiphongLT trong 27-08-2022 - 21:49

Gợi ý: - Kẻ đường cao $BE, CF$, gọi $I$ là giao điểm của trung trực $HD$ với $EF$. Chứng minh $IH$ tiếp xúc $(HMN)$. Dùng bổ đề 1 ở link này: https://diendantoanh...-trung-trực-ai/
           - Chứng minh $AP$ vuông góc $ID$, bằng cách gọi hình chiếu của $A$ lên $ID$ và $XY$ là $S, T$. Chứng minh $AS, AT$ đẳng giác trong $\widehat{AXY}$. Phần này chỉ biến đổi góc
           - Gọi $DE, DF$ cắt $CH, BH$ tại $J, L$. $R$ là tâm $(DJL)$, $N$ là tâm Euler của tam giác $ABC$. $AN$ cắt $BC$ tại $Q$. $U$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $D, R, U, K$ thẳng hàng. Dùng bổ đề hình thang và vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{1}{2}$. Sau đó dùng lại bổ đề 1 ở link trên là được
P/s: Có lẽ bài này là kết hợp của đề chọn đt tỉnh Đồng Nai năm 2022 và chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hoà 2021


 




#734657 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi DaiphongLT trong 27-08-2022 - 21:19

Bài 41: Cho tam giác $ABC$, $L$ là điểm Lemoine. $E, F$ nằm trên $CA, AB$ sao cho $LE//AB$ và $LF//AC$. Đường thẳng qua $L$ song song $EF$ cắt $CA, AB$ tại $M, N$.
$a)$ Chứng minh $MNCB$ nội tiếp đường tròn $(K)$
$b)$ Chứng minh giao điểm hai tiếp tuyến tại $M, N$ của $(K)$ nằm trên $EF$
 




#734616 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi DaiphongLT trong 25-08-2022 - 02:05

Giờ nhìn hình các bạn làm khiếp thật, bỏ hình lâu quá nên giờ chẳng thể làm bài nào của các bạn cả. Mạn phép các bạn mình đăng một bài, lục lại vở cũ thấy ngày xưa mình có làm bài toán sau.

 

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ (góc $B$ lớn hơn góc $C$) và $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $\angle ABD =\angle C$. Đặt $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDI$ cắt $AI$ ở $E$ khác $I$. Đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BD$ ở $P$. Đặt $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$, $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$. Goị $Q$ là giao của $JP$ và $A’C$. Chứng minh rằng $QJ=QA’$.

Gọi $K$ là giao điểm của $AI$ và $BD$, ta có $\widehat{JED}=\widehat{ICD}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\widehat{ABD}}{2}=\widehat{JBD}$ hay $JBED$ nội tiếp. Do đó $E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABD$ hay $(AK, JE)=-1$. Mặt khác $PE//AB$ nên $PJ$ sẽ đi qua trung điểm $AB$. Gọi trung điểm $AB$ là $H$. Ta có $\Delta ABJ \sim \Delta ACI (g-g)$ nên $\Delta AHJ \sim \Delta ACA' (c-g-c)$. Vì vậy $\widehat{AJH}=\widehat{AA'C}$ hay có đpcm.
geogebra-export.png




#734601 Cho (O) và dây cung AB.TT tại A,B cắt nhau tại P.(O') tx AB và tx trong (...

Gửi bởi DaiphongLT trong 24-08-2022 - 02:26

Cho (O) và dây cung AB khác đường kính. (O') tiếp xúc AB và tiếp xúc trong với (O) tại điểm nằm trên cung lớn AB. M là trung điểm cung AB nhỏ. T là điểm trên (O') sao cho ATB=90. TM cắt (O') tại S. Tiếp tuyển tại A,B của (O) cắt nhau tại P. CM S thuộc (P;PA)

Nếu mình không nhầm thì đề đúng của bài này là đề chọn đội tuyển của PTNK (là chứng minh $S$ thuộc đường tròn cố định), cách dựng điểm $S$ cũng khó đoán hơn. Còn chứng minh thì biến đổi góc, dùng phương tích bằng $MA^2$




#734600 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi DaiphongLT trong 24-08-2022 - 00:39

Bài 38: Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$, $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $CA, AB$ sao cho $BF=CE$, $BE$ cắt $CF$ tại $K$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $KBF$ và tam giác $KCE$. Phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt $I_1I_2$ tại $L$. Chứng minh $LI_1=KI_2$.