Hoang72

Mình từng đọc bài toán đó ở đây  , nhưng giờ mới biết nguồn gốc bài này 

Nếu $x_{N_1}=x_{N_1+k}$ thì sao? Khi đó sẽ không tìm được $\alpha$.
Dữ kiện $x_1=q$ hay $q$ hữu tỉ không nguyên chưa được dùng, mặc dù nó không thừa. Ví dụ lấy $q=\frac{5}{2},x_1=\frac{5}{3}$ thì $x_n$ luôn bằng $\frac{5}{3}$, hay lấy $q$ là nghiệm lớn hơn $1$ của phương trình $x^3-x^2-2x+1=0$ thì dãy sẽ tuần hoàn với chu kì $2$.

Hình như, theo em thấy thì hai số hạng bất kỳ của dãy đều phân biệt. Thật vậy, đặt $q = \frac{u}{v},u,v\in\mathbb N^*; \gcd\left(u,v\right) = 1$. Thế thì, bằng quy nạp, ta chứng minh được $x_n = \frac{k_n}{v^n}$, trong đó $k_n$ là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $v$ xác định bởi $\begin{cases} k_1 = u \\ k_{n+1} = u\cdot \left(k_n\mod v^n\right)\end{cases}$.

Nếu vậy thì lời giải trên là đúng rồi.

Mình không rõ số $2a^k + 3$ là biến nào cố định, biến nào không. Nếu $k$ cố định, đặt $q\left(x\right) =p\left(x\right) - 3$, thì ta chỉ cần có $q\in\mathbb Z[x]$ và $q\left(0\right),...,q\left(n\right)$ có dạng $2a^k$. Chú ý theo nội suy Lagrange, $q\left(x\right) = \sum_{i=0}^nP\left(i\right)\prod_{j\neq i}\frac{x-j}{i-j}$, thì ta chọn $P\left(i\right)$ chia hết cho $\prod_{j\neq i}\left(i-j\right)$ là được. Còn nếu $a$ cố định, ta có thể dựa trên khai triển đó: Cho $P\left(x\right) = c\cdot\sum_{i=0}^nt^i\binom{x}{i}$. Khi đó với $0\leq z\leq n$, ta có $P\left(z\right)= c\left(t+1\right)^z$. Ta chọn $t = a^u - 1,c = 2a^v$ thì ta chỉ cần đảm bảo $P\in\mathbb Z[x]$. Chọn $u,v$ phù hợp và đủ lớn sao cho $n!\mid c\cdot t$, ta có điều phải chứng minh.

E có một chút thắc mắc về bổ đề ạ ví dụ như $P(x)=\frac{1}{n}x(x-1)(x-2)(x-3)\ldots (x-(n-1))$ là đa thức bậc $n$ và thoả mãn $P(0),P(1),P(2),\ldots,P(n)$ là các số nguyên mà e thấy $P(x) \not \in \mathbb Z[x]$ ạ, mong được giải đáp ạ. E cảm ơn nhìu ạ.

À xin lỗi bạn, hồi đó mình nhầm á  , bổ đề chỉ cho ta $P\left(x\right)\in\mathbb Z,\forall x\in\mathbb Z$ thôi

Bài này theo mình nghĩ, là yêu cầu chứng minh tồn tại hai ô chung cạnh có hiệu hai số lớn hơn hoặc bằng $n$.

Xét $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho các số $1,2,...,k$ hoặc xuất hiện trên mọi hàng, hoặc xuất hiện trên mọi cột.

Không mất tính tổng quát, coi $k$ số này xuất hiện trên mọi hàng.

NX. Mọi hàng đều chứa ít nhất một ô không chứa một trong các số $1,2,...,k$.

Chứng minh. Giả sử tồn tại hàng $i$ trái với tính chất trên. Khi đó các số $1,2,...,k$ cũng xuất hiện trên mọi cột, mà các số $1,2,..,k-1$ không xuất hiện trên mọi cột nên $k$ thuộc hàng $i$. Chứng tỏ các số $1,2,...,k-1$ vẫn xuất hiện trên mọi hàng, mâu thuẫn.

Như vậy, với hàng $i$ bất kì, ta tìm được hai ô chứa hai số $a_i,b_i$ sao cho $a_i\in\left\{1,2,...,k\right\}$ và $b_i > k$. Chú ý $b_1,b_2,...,b_n$ là các số lớn hơn $k$ nên tồn tại một số $b_j$ không nhỏ hơn $k + n$.

Thế thì $b_j - a_j \geq n$, và $b_j,a_j$ là hai số ở hai ô chung cạnh. (đpcm)