$\boxed{24}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall x,y\in\mathbb R$
Từ phương trình hàm đã cho ta có $f(xy)+2xy=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)+(x^2+y^2),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)
Với mọi $a,b\in\mathbb R$, luôn tồn tại số dương $c$ sao cho $c>|a|$ và $c>|b|$.
Khi đó tồn tại $x,y,u,v$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{2}=c;xy=a$ và $\frac{u^2+v^2}{2}=c;uv=b$.
Do đó từ (1) suy ra $f(a)+2a=f(c)+2c=f(b)+2b$ nên $f(a)+2a=f(b)+2b$.
Suy ra $f(x)+2x$ là hàm hằng nên $f(x)=m-2x,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.
Vậy $f(x)=m-2x,\forall x\in\mathbb R$.
- pcoVietnam02 yêu thích