Hoang72

Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau:

Nếu $a$ là một số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, $(a,p)=1$. Gọi $t$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^t\equiv -1(mod p)$. Chứng minh rằng $\text{ord}_p(a)=2t$.

Nếu mệnh đề sai, hỏi có thể chỉnh sửa giả thiết để mệnh đề đúng hay không?

Cho $n\in\mathbb{N*};x_1,x_2,...,x_n>0$ và:

+) Nếu n chẵn thì $n\leq 12$

+) Nếu n lẻ thì $n\leq 23$.

Chứng minh: $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\leq \frac{n}{2}$.

(Trong đó: $x_{n+1}=x_1;x_{n+2}=x_2$)

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$. Đặt $S_{i,j}=\left [\frac{\sum_{x=i}^{j}a_x}{j-i+1} \right ]$. Đặt $M_{i}=Max\left \{ S_{i,i+1},S_{i,i+2},...,S_{i,n} \right \}$. Chứng minh rằng nếu tồn tại j > i thỏa mãn $a_j\leq M_{i}$ thì $M_{j}\leq M_{i}$.

(Bài này em chỉ dự đoán thôi ạ không biết có đúng không)

Em đọc trong sách thấy hệ thức này mà không hiểu, nhờ mọi người chứng minh giúp ạ:

Cho tam giác ABC và điểm P bất kì thỏa mãn: $\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}+\gamma\overrightarrow{PC}=0$.

Chứng minh rằng với mọi M thì $\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2 = (\alpha+\beta+\gamma)MP^2+\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2$.

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực a, b, c và số nguyên dương chẵn k: $a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0$.