Hoang72

Cho một đường tròn bất kì. Lấy ba điểm bất kì thuộc đường tròn. Tính xác suất để ba điểm đã cho tạo thành một tam giác tù? (Không kể đến thứ tự các điểm)

Mời mọi người cùng góp lời giải:

Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là các số thực có tổng bằng $0$ $(n\in\mathbb N; n\geq 2)$, trong đó tồn tại một số bằng $1$.

Đặt $M = \max\left\{|a_1 - a_2|, |a_2-a_3|,...,|a_n-a_1|\right\}$.

Chứng minh rằng: $M\geq \frac{4}{n}$.

Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau:

Nếu $a$ là một số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, $(a,p)=1$. Gọi $t$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^t\equiv -1(mod p)$. Chứng minh rằng $\text{ord}_p(a)=2t$.

Nếu mệnh đề sai, hỏi có thể chỉnh sửa giả thiết để mệnh đề đúng hay không?

Cho $n\in\mathbb{N*};x_1,x_2,...,x_n>0$ và:

+) Nếu n chẵn thì $n\leq 12$

+) Nếu n lẻ thì $n\leq 23$.

Chứng minh: $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\leq \frac{n}{2}$.

(Trong đó: $x_{n+1}=x_1;x_{n+2}=x_2$)

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$. Đặt $S_{i,j}=\left [\frac{\sum_{x=i}^{j}a_x}{j-i+1} \right ]$. Đặt $M_{i}=Max\left \{ S_{i,i+1},S_{i,i+2},...,S_{i,n} \right \}$. Chứng minh rằng nếu tồn tại j > i thỏa mãn $a_j\leq M_{i}$ thì $M_{j}\leq M_{i}$.

(Bài này em chỉ dự đoán thôi ạ không biết có đúng không)