Dang Hong Ngoc

có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ

thực ra mình tìm công thức truy hồi của $u_{n}$ trước rồi mới suy ra công thức tổng quát cho dãy $\left(u_{n}\right)$, do quá trình tìm khá phức tạp cũng như nhiều công đoạn (một phần cũng là hơi khó để trình bày), nên mình chỉ lấy phần công thức $u_{n}$ rồi chứng minh bằng quy nạp.

Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :

Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).

Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$

+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)

+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

...................

Vậy :

+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$

+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$

Em cảm ơn ạ sơ suất quá, anh không nói chắc em cũng không nhận ra.

* Sửa lại công thức cuối:

$n$ chẵn: $\dfrac{3n^{2}}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n+2\right)\left(2n+5\right)}{24}$

$n$ lẻ: $\dfrac{3n^{2}+1}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(2n+1\right)}{24}$

Với $S=\varnothing$: Dễ thấy chỉ có một cách chia ($\varnothing$ và $\varnothing$).

Với $S\ne\varnothing$:

$\bullet$ $n$ lẻ: Có $2^{n}$ cách chọn một tập con $A$ của $S$, mỗi tập $A$ ta xác định được duy nhất một tập con thứ hai thoả đề là $B=S\setminus A$

Do $A,B$ theo đề là hai tập không phân biệt nên ta chia bớt số cách bị trùng, trường hợp này có: $\dfrac{2^{n}}{2}=2^{n-1}$ cách.

$\bullet$ $n$ chẵn: Tương tự TH trên, ta cũng chia bớt số cách bị trùng, nhưng trong đó có $1$ cách đếm không bị trùng, là khi $\vert A\vert=\vert B\vert=\dfrac{n}{2}$, do đó số cách trong TH này là: $2^{n-1}+1$ cách.

Vừa nghĩ được cách này, mọi người xem giúp mình đúng không ạ 

khai triển còn tuỳ thuộc vào $t$ là số thực hay số nguyên nữa bạn.

Xếp $5$ nam vào bàn tròn, có $4!$ cách. (coi như chỉ có $5$ ghế, khi xếp thêm nữ thì sẽ thêm ghế, nên ở bước này vẫn là dãy kín)

Chọn $3$ trong $5$ khoảng trống giữa các nam để xếp $3$ nữ, có $A^{3}_{5}$ cách.

$\Rightarrow P=\dfrac{4!.A^{3}_{5}}{7!}=\dfrac{2}{7}$

Minh thấy hình như không đúng ở khúc đầu lắm nếu xếp 6 trước thì hình như có rất nhiều trường hợp như 600606060606

Cái đấy mình có xét ở 3 trường hợp dưới mà, VD như: $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $6$ có trong TH3.