Đến nội dung


Velomi

Đăng ký: 24-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 09:01
-----

#729097 $x^{4}+4x=y^{2}$

Gửi bởi Velomi trong 24-07-2021 - 07:44

Ta có thể làm như thế này: Dễ thấy $(x^2+2)^2> x^4+4x \forall x\in Z$.

$x^4+4x-(x^2-1)^2=2x^2+4x-1=2(x+1)^2-3$. Xét $2(x+1)^2-3\leq 0 \Rightarrow x\in {0;-2;-1}$. Thay vào pt chỉ có x=y=0 thỏa mãn. Đối với $2(x+1)^2-3> 0 \Rightarrow (x^2+2)^2> x^4+4x>(x^2-1)^2.$. Cuối cùng chỉ có x=y=0 thỏa mãn




#729061 $x^{2}y^{2}+x+y=0$

Gửi bởi Velomi trong 21-07-2021 - 15:47

Từ giả thiết ta có: $x=\frac{-y}{xy^2+1}$. VT là số nguyên nên $-y\vdots xy^2+1\Rightarrow xy^2\vdots xy^2+1\Leftrightarrow 1\vdots xy^2+1\Leftrightarrow xy^2\in {0;-2}$. Xét từng trường hợp một ta có x=y=0 thỏa mãn đề bài.




#729039 $x^{4}+y^{4}=5x^{2}y^{2}$

Gửi bởi Velomi trong 20-07-2021 - 16:20

Ta có: $(x^2+y^2)^2=7x^2y^2$. VT luôn là một số chính phương nên VP phải là một số chính phương. Vậy $VT=VP=0\Rightarrow x=y=0$




#728990 $\left\{\begin{matrix} x^2+7=5y-6z &...

Gửi bởi Velomi trong 18-07-2021 - 15:45

Bài 1 liên hợp được mà




#727854 $\left\{\begin{matrix} x^2(4y+1)-2y=-3...

Gửi bởi Velomi trong 04-06-2021 - 21:15

Đặt $x^2-2y=a$; $4x^2y=b$

Từ hpt trên ta được:  $\begin{cases} a+b=-3 \\ a^2-2b=9 \end{cases}$

Đến đó tìm được a và b, rồi tìm được x và y.


  • DBS yêu thích


#727850 2 CSTC của $A=9^{2020}+9^{2020^2}+9^{2020^3...

Gửi bởi Velomi trong 04-06-2021 - 20:15

Ta có: $9^{10}\equiv 1(mod 100)\Leftrightarrow 9^{10k}\equiv 1(mod 100)$. Vì $2020\vdots 10$ và A có 2020 số hạng nên A$\equiv 20(mod 100)$

Vậy 2 chữ số tận cùng của A là 20




#727837 $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}...

Gửi bởi Velomi trong 04-06-2021 - 09:27

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq \frac{2}{3}x$. Tương tự như vậy, ta có: $VT\geq \frac{5}{9}(x+y+z)-\frac{2}{3}$

Từ GT suy ra: $3xyz\geq xy+yz+xz$$\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$

Vậy $VT\geq 1$ khi $x=y=z=1$


  • DBS yêu thích


#727803 Tìm m,n nguyên dương thỏa $3^m+1$ và $3^n+1$ đều chia hết...

Gửi bởi Velomi trong 03-06-2021 - 07:26

Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn $3^m+1$ và $3^n+1$ đều chia hết cho $mn$.




#727793 Tìm tất cả các số x,y,z sao cho $2010^x=2009^y+2008^z$ với $x...

Gửi bởi Velomi trong 02-06-2021 - 20:21

Xét $x,y,z\geq 1$ thì VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2.

Xét $x=0$ thì VP$=1$ (vô nghiệm)

Xét $y=0$ thì VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2.

Xét $z=0$ thì $2009^y+1=2010^x$

Ta thấy VT$\equiv 2(mod 4)$ nên VP $\equiv 2(mod 4)$. Từ đó ta có: $x=y=1$




#727654 $a,b,c\in\mathbb{N}$ thoả: $2^a+8b^2-3^c=2...

Gửi bởi Velomi trong 27-05-2021 - 21:14

Xét $a\geq 3$ thì $283+3^{c}\vdots 8$$\Rightarrow 3^c\equiv 5(mod 8)$ ( vô nghiệm )

Xét a=0 thì vế trái chẵn, vế phải lẻ ( vô nghiệm )

Xét a=1 thì $8b^2-3^c=281$$\Rightarrow 3^c\equiv 7(mod 8)$ ( vô nghiệm )

Từ đó a=2. GT trở thành: $8b^2-3^c=279$. Dễ thấy bắt buộc b=3p, c=2k, ta có: $8p^2-9^{k-1}=31$$\Leftrightarrow 9p^2-9^{k-1}=p^2+31$

Do đó $p^2\equiv 5(mod 9)$ ( vô nghiệm ) hoặc k=1. Suy ra c=2, b=6.

 

 




#727449 Chứng minh tứ giác EDNC là hình thang cân

Gửi bởi Velomi trong 22-05-2021 - 15:12

Kẻ đường kính AF. Ta có:$\angle IEC = \angle ICE = \angle BAD= \angle FAC$ nên tứ giác AENC nội tiếp. Mặt khác tứ giác AEDC nội tiếp nên tứ giác EDNC nội tiếp. 

Lại có: $\angle DEC =\angle DAC=\angle BAN=\angle ECN$ nên tứ giác EDNC là hình thang cân (đpcm).

Ko biết đúng ko nữa