Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé
À soggi, mình quên xét trường hợp 1 số bằng 2, từ đó mình đẩy lên là được $a,b$ lẻ xong mình xét ước nguyên tố
Còn bộ nghiệm là $(a,b)=(1,2)$ và $(2,1)$.
- narutosasukevjppro yêu thích
Nguyễn Khải Hoàn
____________________________________________________________
Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 07:29
Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé
À soggi, mình quên xét trường hợp 1 số bằng 2, từ đó mình đẩy lên là được $a,b$ lẻ xong mình xét ước nguyên tố
Còn bộ nghiệm là $(a,b)=(1,2)$ và $(2,1)$.
Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 11:27
Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 4 khá đơn giản:
Giả sử $p^3 +\frac{p-1}{2}=n(n+1)$ với $ n \in \mathbb{N} (*)$
$(*) \leftrightarrow 2p^3+p-1=2n(n+1).\text{VP} \vdots 4 \rightarrow 2p^3+p=p(2p^2+1) \equiv 1 \pmod 4$
Suy ra: $p \equiv 2p^2+1 \equiv 1$ hoặc $3 \pmod 4$ Trường hợp $p \equiv 2p^2+1 \equiv 1 \pmod 4$ vô lí
Vậy $p \equiv 2p^2+1 \equiv 3 \pmod 4 \rightarrow p=4k+3 (k \in \mathbb{N})$
Ta phát biểu 1 bổ đề: Nếu các số nguyên $x,y$ và $p \equiv 3 \pmod 4$ thỏa mãn $p \mid x^2+y^2$ thì:
$$p \mid x; p \mid y$$
$(*) \leftrightarrow p(2p^2+1)=(n+1)^2+n^2 \rightarrow (n+1)^2+n^2 \vdots p$
Áp dụng bổ đề thì ta được: $p \mid n, p \mid (n+1)$ mà ta có: $\text{gcd}(n+1,n)=1$
Điều này là điều vô lí. Vậy ta có đpcm
Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 10:03
Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|
Trường hợp $n=1$ là một trường hợp đúng.
Ta chứng minh $n>1$ là sai.
Dễ thấy nếu $n$ chẵn thì vô lí
Vậy $n$ lẻ. Suy ra: $2^n \equiv 8 \pmod {12} \rightarrow 2^n-1 \equiv 7 \pmod {12}$
Vì vậy $2^n-1$ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng $12k \pm 5.$ Gọi số đó là $p$
Ta có: $\left(\frac{3}{p}\right) =1$. Theo luật tương hỗ Gauss thì: $\left(\frac{p}{3}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.$
Mặt khác ta có:
$$\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{\pm 2}{3}\right)= \pm 1$$
Suy ra: $(-1)^{\frac{p-1}{2}}= \pm 1$. Điều này vô lí nên ta có đpcm.
Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 15:05
Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$
Bài 15.
Ta đi phản chứng giả sử $\text{gcd}(m,n)=1$. Ta đặt:
$$5^m-1=2^k.p^{a_1}_1.p^{a_2}_2...p^{a_t}_t$$
Trong đó $k \in \mathbb{N^*}, p_i \in \mathbb{P}, a_i \in \mathbb{N}, \forall i=\overline{1,t}$. Nếu $5^m -1$ không có ước nguyên tố lẻ thì $5^m-1 =2^k$. Khi đó ta có: $\varphi (5^m-1)=5^n-1=2^{k-1}$. Vì vậy:
$$5^m-1=2.5^n-2 \longleftrightarrow 2.5^n - 5^m=1$$
$\rightarrow$ Điều này là điều vô lí.
Vậy nên $5^m-1$ phải có ước nguyên tố lẻ. Ta có:
$$\varphi (5^m -1) = 2^{k-1} \prod _{i=1}^{t}p_i^{a_1-1} \cdot \prod _{i=1}^{t}(p_i-1)=5^n-1$$
Theo phản chứng thì ta có: $\text{gcd}(m,n)=1$
Suy ra: $\text{gcd}(5^m-1,5^n-1)=5^{\text{gcd}(m,n)}-1=5-1=4$
Do đó nếu $k \geq 3$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \equiv 0 \pmod 8$, mâu thuẫn. Nếu $k=1$ thì cũng vô lí.
Vậy $k=2$
Nếu tồn tại $j$ sao cho $a_j >1$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \pmod{p_j}$
Do $a_j=1, \forall i =\overline{1,t}$
Ta được:
Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 14:47
Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)
Bài 17. Đây là một bài toán rất nổi tiếng khi chúng ta học với bổ đề LTE. Em xin nhắc lại cách giải đó ạ!
. Xét trường hợp $p=q=5$ và $p=5, q \ne 5$
. Xét trường hợp $p,q \ne 5$
Ta có: $5^p \equiv 5 \pmod p$ và $5^q \equiv 5 \pmod q$ nên:
$pq \mid 5^p + 5^q \longleftrightarrow 5^{p-1} +1 \vdots q; 5^{q-1} +1 \vdots p \rightarrow 5^{2(p-1)}$ $-1 \vdots q; 5^{2(q-1)}-1 \vdots p$
Vì $5^{2(p-1)} -1 \vdots q$ mà $5^{p-1}$ không chia hết cho $q$ nên:
$$v_2(\text{ord}_q(5))=1+v_2(p-1)$$
Do $5^{q-1}$ chia hết $q$ nên $q-1 \vdots \text{ord}_q(5)$ nên:
$$v_2(q-1) \geq 1+ v_2(p-1)$$
Tương tự thì ta xét chia hết cho $p$ thì ta có: $v_2(p-1) \geq 1+v_2(q-1)$
$\rightarrow$ Điều này mâu thuẫn.
Từ đây ta đi tìm nghiệm.
P/s: Em rất ủng hộ topic, mong anh sẽ tiếp tục duy trì ạ. Em cảm ơn <3
Gửi bởi 12DecMath trong 05-10-2021 - 16:23
Cho em hỏi bài này với ạ .
Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
Gửi bởi 12DecMath trong 01-10-2021 - 08:41
Gọi $S$ là giao điểm của $(HIG)$ với $(AEF)$
Ta phát biểu bổ đề tỉ số phương tích:
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Lấy điểm $C,D$ bất kì thỏa mãn $\frac{\mathbb{P}_{C/(O)}}{\mathbb{P}_{D/(O)}}=\frac{\mathbb{P}_{C/(O')}}{\mathbb{P}_{D/(O')}}$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ đồng viên.
Quay trở về bài toán:
$(1)$ Ta chứng minh $AH$ là tiếp tuyến của $(HIG)$
Đây chính là câu $(a)$ bài 5 trong đề thi tuyển sinh vào trường LQĐ Đà Nẵng 2020
$(2)$ Xét phương tích của điểm $J,K$ đối với $(HIG)$ và $(AEF)$
$\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{IH.IA}{IH^2}=\frac{IH^2}{IH^2}=1$
$\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}=\frac{KH.KF}{KH.KG}=\frac{KH.KG}{KH.KG}=1$
Suy ra: $\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}$
Nên: $(KJH), (AEF), (HIG)$ đồng trục $\rightarrow K, J, H, S$ đồng viên
Làm tương tự với điểm $L$ thì $J, H, L, S$ đồng viên. Suy ra $HJLK$ nội tiếp.
Gửi bởi 12DecMath trong 18-09-2021 - 19:44
$\boxed{20}$: Cho $\triangle ABC$ nhọn sao cho $\angle BAC = 30^o$. Hai đường phân giác trong và ngoài góc $B$ cắt $AC$ lần lượt tại $B_1$ và $B_2$. Hai đường phân giác trong và ngoài có $C$ cắt $AB$ lần lượt tại $C_1$ và $C_2$. Giả sử đường tròn đường kính $B_1B_2$ cắt đường tròn đường kính $C_1C_2$ tại điểm $P$ nằm trong $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $\angle BPC = 90^o$.
(Trích từ đề thi chuyên Thái Bình 2021 - Cre: Anh Tuốt Biết)
Gửi bởi 12DecMath trong 17-09-2021 - 14:27
$\boxed{19}$: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung điểm $AB,AC$ lần lượt là $E,F.A $là 1 điểm di động trên $(O)$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $OE,OF$ tại $K,L$.
a) Chứng minh rằng $K,L,M,N$ đồng viên
b) Gọi $J$ là tâm của $(KLMN)$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua 1 điểm cố định.
Gửi bởi 12DecMath trong 30-08-2021 - 08:29
Bài 17:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $(O)$ và $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O). BE, CF$ là 2 đường cao của tam giác $ABC$.
a. Chứng minh tồn tại duy nhất 2 điểm $M, N$ trên đoạn thẳng $BE, CF$ sao cho $(NFB)$ tiếp xúc $(NEC), (MFB)$ tiếp xúc $(MEC)$
b. $P$ đối xứng $M$ qua $E, Q$ đối xứng $N$ qua $F$. Chứng minh giao điểm $PN, QM$ thuộc 1 đường cố định
Gợi ý: a) $M,N$ nằm trên đường tròn đường kính $AB, AC$
b) Gọi $X$ là giao điểm của $PN, QM$, $H$ là giao điểm của $BE,CF$ thì ta có $B,X,C$ nằm trên đường đối cực của $H$ qua đường tròn tâm $A$ bán kính $AM$.
Gửi bởi 12DecMath trong 23-08-2021 - 15:04
$\boxed{13}$:Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $M$ là trung điểm của $BC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$; các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $EF \cap BC=G$; GH cắt đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ tại $K$. Gọi $T$ là điểm đối xứng với $D$ qua $IM$. Chứng minh nếu $GI \perp AM$ thì $MT$ đi qua trung điểm của $AK$.
Gửi bởi 12DecMath trong 09-08-2021 - 16:35
$\boxed{8}$: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của $ID$ và $AM$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt $(ABC)$ tại $K$. Chứng mình rằng đường trung tuyến ứng với điểm $IM$ và $PK$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn Euler tam giác $BIC$.
Gửi bởi 12DecMath trong 06-08-2021 - 14:06
$\boxed{7}$ (Bài này khá đơn giản). Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, trực tâm $K$. Đường thằng $BK$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $D, E (BD < BE)$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $F, G (CF < CG)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DHF$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$.
$a/$Chứng minh rằng các điểm $G, H, P, E$ cùng thuộc một đường tròn.
$b/$Chứng minh rằng các đường thẳng $BF, CD, PK$ đồng quy.
Gửi bởi 12DecMath trong 03-08-2021 - 16:37
Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}
- Cho em hỏi bài này với ạ
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học