Đến nội dung

12DecMath

12DecMath

Đăng ký: 25-03-2021
Offline Đăng nhập: 18-02-2024 - 23:27
****-

#731125 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 07:29

Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé

À soggi, mình quên xét trường hợp 1 số bằng 2, từ đó mình đẩy lên là được $a,b$ lẻ xong mình xét ước nguyên tố  :ukliam2: 
Còn bộ nghiệm là $(a,b)=(1,2)$ và $(2,1)$.




#731123 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 12-10-2021 - 21:06

Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$

UwU bài 8:

Xét các ước nguyên tố thì ta sẽ chứng minh được $a=b$

Đến đây bài toán dễ rồi. Ta sẽ có nghiệm là $a=b=1$




#731024 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 11:27

Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 4 khá đơn giản:

Giả sử $p^3 +\frac{p-1}{2}=n(n+1)$ với $ n \in \mathbb{N} (*)$

$(*) \leftrightarrow 2p^3+p-1=2n(n+1).\text{VP} \vdots 4 \rightarrow 2p^3+p=p(2p^2+1) \equiv 1 \pmod 4$

Suy ra: $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1$ hoặc $3 \pmod 4$ Trường hợp $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1 \pmod 4$ vô lí

Vậy $p \equiv  2p^2+1 \equiv 3 \pmod 4 \rightarrow p=4k+3 (k \in \mathbb{N})$

Ta phát biểu 1 bổ đề: Nếu các số nguyên $x,y$ và $p \equiv 3 \pmod 4$ thỏa mãn $p \mid x^2+y^2$ thì:

$$p \mid x; p \mid y$$

$(*) \leftrightarrow p(2p^2+1)=(n+1)^2+n^2 \rightarrow (n+1)^2+n^2 \vdots p$

Áp dụng bổ đề thì ta được: $p \mid n, p \mid (n+1)$ mà ta có: $\text{gcd}(n+1,n)=1$ 

Điều này là điều vô lí. Vậy ta có đpcm




#731022 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 10:03

Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|

Trường hợp $n=1$ là một trường hợp đúng.

Ta chứng minh $n>1$ là sai.

Dễ thấy nếu $n$ chẵn thì vô lí

Vậy $n$ lẻ. Suy ra: $2^n \equiv 8 \pmod {12} \rightarrow 2^n-1 \equiv 7 \pmod {12}$

Vì vậy $2^n-1$ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng $12k \pm 5.$ Gọi số đó là $p$

Ta có: $\left(\frac{3}{p}\right) =1$. Theo luật tương hỗ Gauss thì: $\left(\frac{p}{3}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.$

Mặt khác ta có: 

$$\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{\pm 2}{3}\right)= \pm 1$$

Suy ra: $(-1)^{\frac{p-1}{2}}= \pm 1$. Điều này vô lí nên ta có đpcm.




#731003 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 15:05

Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$

Bài 15.

Ta đi phản chứng giả sử $\text{gcd}(m,n)=1$. Ta đặt:

$$5^m-1=2^k.p^{a_1}_1.p^{a_2}_2...p^{a_t}_t$$

Trong đó $k \in \mathbb{N^*}, p_i \in \mathbb{P}, a_i \in \mathbb{N}, \forall i=\overline{1,t}$. Nếu $5^m -1$ không có ước nguyên tố lẻ thì $5^m-1 =2^k$. Khi đó ta có: $\varphi (5^m-1)=5^n-1=2^{k-1}$. Vì vậy:

$$5^m-1=2.5^n-2 \longleftrightarrow 2.5^n - 5^m=1$$

$\rightarrow$ Điều này là điều vô lí.

Vậy nên $5^m-1$ phải có ước nguyên tố lẻ. Ta có: 

$$\varphi (5^m -1) = 2^{k-1} \prod _{i=1}^{t}p_i^{a_1-1} \cdot \prod _{i=1}^{t}(p_i-1)=5^n-1$$

Theo phản chứng thì ta có:  $\text{gcd}(m,n)=1$

Suy ra: $\text{gcd}(5^m-1,5^n-1)=5^{\text{gcd}(m,n)}-1=5-1=4$

Do đó nếu $k \geq 3$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \equiv 0 \pmod 8$, mâu thuẫn. Nếu $k=1$ thì cũng vô lí.

Vậy $k=2$

Nếu tồn tại $j$ sao cho $a_j >1$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \pmod{p_j}$

Do $a_j=1, \forall i =\overline{1,t}$

Ta được: 

$$5^{m} -1=4p_{1} p_{2} p_{3} \dots p_{t}$$
$$5^{n} -1\equiv 2( p_{1} -1)( p_{2} -1) \dots (p_{t} -1)$$
Do $4 || 5^m-1$ nên $m$ lẻ.
Ta có: 
$$5^m \equiv 1 \pmod p_i, \forall i= \overline{1,t} \longleftrightarrow 5^{m+1} \equiv 5 \pmod{p_i}, \forall i=\overline{1,t} \rightarrow (\frac{5}{p_i})=1,\forall i= \overline{1,t}$$
Theo luật tương hổ Gauss: 
$$ (\frac{5}{p_i})(\frac{p_i}{5})=1, \forall i= \overline{1,t}$$
Nên có $(\frac{p_i}{5})=1 \rightarrow p_i \equiv +- 1 \pmod 5$
Mà $p_i \equiv 1 \pmod 5$ vô lí nên $p_i \equiv -1 \pmod 5$
Ta có: 
$$4 \equiv 5^m -1 = 4p_1p_2p_3 \dots p_t \equiv 4.(-1)^t \pmod 5 \rightarrow 2 \mid t $$
Từ đó: 
$-1 \equiv 5^n-1 = 2(p_1-1)(p_2-1) \dots (p_t-1) \equiv 2.(-2)^t=2^{t+1}\pmod 5 \rightarrow 2^{t+2}\equiv  -2 \pmod 5 \rightarrow (\frac{-2}{5})=1$
Điều này vô lí. Hoàn tất chứng minh <3 



#731000 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 14:47

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)

Bài 17. Đây là một bài toán rất nổi tiếng khi chúng ta học với bổ đề LTE. Em xin nhắc lại cách giải đó ạ!

. Xét trường hợp $p=q=5$ và $p=5, q \ne 5$ 

. Xét trường hợp $p,q \ne 5$

Ta có: $5^p \equiv 5 \pmod p$ và $5^q \equiv 5 \pmod q$ nên:

$pq \mid 5^p + 5^q \longleftrightarrow 5^{p-1} +1 \vdots q; 5^{q-1} +1 \vdots p \rightarrow 5^{2(p-1)}$ $-1 \vdots q; 5^{2(q-1)}-1 \vdots p$

Vì $5^{2(p-1)} -1 \vdots q$ mà $5^{p-1}$ không chia hết cho $q$ nên:

$$v_2(\text{ord}_q(5))=1+v_2(p-1)$$

Do $5^{q-1}$ chia hết $q$ nên $q-1 \vdots \text{ord}_q(5)$ nên: 

$$v_2(q-1) \geq 1+ v_2(p-1)$$

Tương tự thì ta xét chia hết cho $p$ thì ta có: $v_2(p-1) \geq 1+v_2(q-1)$

$\rightarrow$ Điều này mâu thuẫn. 

Từ đây ta đi tìm nghiệm. 
P/s: Em rất ủng hộ topic, mong anh sẽ tiếp tục duy trì ạ. Em cảm ơn <3 




#730974 Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n...

Gửi bởi 12DecMath trong 05-10-2021 - 16:23

Cho em hỏi bài này với ạ . 

Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
 




#730829 Chứng minh $HJLK$ nội tiếp

Gửi bởi 12DecMath trong 01-10-2021 - 08:41

Gọi $S$ là giao điểm của $(HIG)$ với $(AEF)$

Ta phát biểu bổ đề tỉ số phương tích

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Lấy điểm $C,D$ bất kì thỏa mãn $\frac{\mathbb{P}_{C/(O)}}{\mathbb{P}_{D/(O)}}=\frac{\mathbb{P}_{C/(O')}}{\mathbb{P}_{D/(O')}}$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ đồng viên. 

Quay trở về bài toán: 

$(1)$ Ta chứng minh $AH$ là tiếp tuyến của $(HIG)$ 

Đây chính là câu $(a)$ bài 5 trong đề thi tuyển sinh vào trường LQĐ Đà Nẵng 2020

$(2)$ Xét phương tích của điểm $J,K$ đối với $(HIG)$ và $(AEF)$

$\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{IH.IA}{IH^2}=\frac{IH^2}{IH^2}=1$

$\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}=\frac{KH.KF}{KH.KG}=\frac{KH.KG}{KH.KG}=1$

Suy ra: $\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}$

Nên: $(KJH), (AEF), (HIG)$ đồng trục $\rightarrow K, J, H, S$ đồng viên

Làm tương tự với điểm $L$ thì $J, H, L, S$ đồng viên. Suy ra $HJLK$ nội tiếp. 

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG



#730513 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 18-09-2021 - 19:44

$\boxed{20}$: Cho $\triangle ABC$ nhọn sao cho $\angle BAC = 30^o$. Hai đường phân giác trong và ngoài góc $B$ cắt $AC$ lần lượt tại $B_1$ và $B_2$. Hai đường phân giác trong và ngoài có $C$ cắt $AB$ lần lượt tại $C_1$ và $C_2$. Giả sử đường tròn đường kính $B_1B_2$ cắt đường tròn đường kính $C_1C_2$ tại điểm $P$ nằm trong $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $\angle BPC = 90^o$.

                                                                                      (Trích từ đề thi chuyên Thái Bình 2021 - Cre: Anh Tuốt Biết)   




#730485 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 17-09-2021 - 14:27

$\boxed{19}$: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung điểm $AB,AC$ lần lượt là $E,F.A $là 1 điểm di động trên $(O)$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $OE,OF$ tại $K,L$.

a) Chứng minh rằng $K,L,M,N$ đồng viên

b) Gọi $J$ là tâm của $(KLMN)$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua 1 điểm cố định.




#729999 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 30-08-2021 - 08:29

Bài 17:

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $(O)$ và $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O). BE, CF$ là 2 đường cao của tam giác $ABC$. 

a. Chứng minh tồn tại duy nhất 2 điểm $M, N$ trên đoạn thẳng $BE, CF$ sao cho $(NFB)$ tiếp xúc $(NEC), (MFB)$ tiếp xúc $(MEC)$

b. $P$ đối xứng $M$ qua $E, Q$ đối xứng $N$ qua $F$. Chứng minh giao điểm $PN, QM$ thuộc 1 đường cố định

Gợi ý: a) $M,N$ nằm trên đường tròn đường kính $AB, AC$
            b) Gọi $X$ là giao điểm của $PN, QM$, $H$ là giao điểm của $BE,CF$ thì ta có $B,X,C$ nằm trên đường đối cực của $H$ qua đường tròn tâm $A$ bán kính $AM$.




#729885 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 23-08-2021 - 15:04

$\boxed{13}$:Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $M$ là trung điểm của $BC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$; các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $EF \cap BC=G$; GH cắt đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ tại $K$. Gọi $T$ là điểm đối xứng với $D$ qua $IM$. Chứng minh nếu $GI \perp AM$ thì $MT$ đi qua trung điểm của $AK$.




#729536 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 09-08-2021 - 16:35

$\boxed{8}$: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của $ID$ và $AM$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt $(ABC)$ tại $K$. Chứng mình rằng đường trung tuyến ứng với điểm $IM$ và $PK$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn Euler tam giác $BIC$.




#729434 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 06-08-2021 - 14:06

$\boxed{7}$ (Bài này khá đơn giản). Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, trực tâm $K$. Đường thằng $BK$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $D, E (BD < BE)$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $F, G (CF < CG)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DHF$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$.

        $a/$Chứng minh rằng các điểm $G, H, P, E$ cùng thuộc một đường tròn.

        $b/$Chứng minh rằng các đường thẳng $BF, CD, PK$ đồng quy.




#729336 Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc...

Gửi bởi 12DecMath trong 03-08-2021 - 16:37

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ