12DecMath

$\boxed{40}$Cho tam giác ABC trực tâm H, có điểm P bất kì. U là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AP qua H với BC. Cách xác định điểm V, W tương tự điểm U. Chứng minh rằng U,W,V thẳng hàng.
P/s: Mô hình khá đẹp, áp dụng phương tích sẽ ra. 
 

$\boxed{39}$ Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi M là trung điểm của AC và K là trực tâm của tam giác BIC. Chứng minh KE vuông góc với MI. 

$\boxed{\textbf{Bài 38}}$ Đường tròn $(O)$, từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA,MB$. $C$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $AB$. $AC$ cắt $MB$ tại $E$, $BC$ cắt $MA$ tại $D$. Chứng minh rằng : $(BCE),(ACD),(MCO)$ đồng quy tại 1 điểm khác $C$.   (Cre: Sưu tầm)

Biến góc nhẹ nhàng: 

$\boxed{34}$Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm nội tiếp của tam giác. Trung trực của AI cắt AB,AC tại F,E. Chứng minh đường tròn đi qua F,E tiếp xúc với AB,AC thì tiếp xúc với (BOC).

Lời giải:

$\boxed{35}$Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường phân giác ngoài $\widehat{ABC}$ tại D. DH$\perp$BC tại H. Lấy K$\in$AB sao cho HK$//$AC.

1) Gọi N,L lần lượt là điểm đối xứng với H,K qua BD. Chứng minh rằng A,N,L,D,C đồng viên

2) Gọi M là trung điểm AK. Chứng minh rằng MC=MB+BH.

Lời giải:

Bài 36: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O;R) có trực tâm H. D$\in \widehat{BC}$ nhỏ. Lấy E bất kì sao cho $CE//=AD$. Gọi K là trực tâm của $\Delta ACE$, P và Q là hình chiếu của K lên AB, BC. Chứng minh PQ đi qua trung điểm HK
P/s: Mng nhìn bài này có quen không

Bài này khá quen thuộc    
Lời giải của mình: 

Bài này ở đây (hổm tôi có đăng) https://diendantoanh...21/#entry725955

Cách khác cho câu a,b: (câu c thì hướng 4 điểm là nhanh nhất):
 

$\boxed{35}$Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường phân giác ngoài $\widehat{ABC}$ tại D. DH$\perp$BC tại H. Lấy K$\in$AB sao cho HK$//$AC.

1) Gọi N,L lần lượt là điểm đối xứng với H,K qua BD. Chứng minh rằng A,N,L,D,C đồng viên

2) Gọi M là trung điểm AK. Chứng minh rằng MC=MB+BH.

$\boxed{34}$Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm nội tiếp của tam giác. Trung trực của AI cắt AB,AC tại F,E. Chứng minh đường tròn đi qua F,E tiếp xúc với AB,AC thì tiếp xúc với (BOC).

$\boxed{33}$Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh CA,AB tại E,F. Trên EF lấy các điểm M,N (không trùng E,F) sao cho BM=BF, CN=CE.

   1) Các đường thẳng CM và AB cắt nhau tại L. Chứng minh rằng :

        $\frac{LF}{LA}$=$\frac{CE}{CA}$$.$$\frac{MF}{ME}$

   2) Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KL$//$ EF

   3) Lấy J sao cho $\widehat{BMJ}$$=$$\widehat{CNJ}$$=$90^o. Chứng minh rằng JI$\perp$BC

                                                                                                 (Trích nguyên văn đề thi thử KHTN vòng 2 - đợt 2) 

$\boxed{32}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ di động trên $BC$ chứa $A\, (D\neq A).$ Trên $AB,AC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $MD=MB; NC=ND.$

a) Chúng minh đường cao $DH$ trong $\Delta DMN$ luôn đi một điểm cố định.

b)$DM,DN$ cắt $(O)$ tại $E,F \, (E,F\neq D).$ Chứng minh các đường tròn $(EMB),(FNC)$ cắt nhau tại $K$ thuộc $BC$ và đường cao $KI$ của tam giác $KMN$ luôn đi điểm cố định.

Lời giải của mình: 

P/s: Bài này cộng góc một cách đơn thuần, nhưng mà lúc đầu hơi bị rối   

$\boxed{Problem 34}$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = \frac{BC}{2}$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E$. Gọi $M$ là điểm trên đoạn thẳng $DE$ sao cho $DM=BD$. Chứng minh rằng: $\widehat{ADM}=2\widehat{DAM}$

Gọi N là trung điểm BC, $\Delta$ABC vuông tại A mà AN là trung tuyến => AN=BN=CN=$\frac{1}{2}$BC

BD=$\frac{1}{2}$BC => BN=BD

mà BD=DM => BN=DM => BDMN là hình bình hành=>BD//MN 

=>$\widehat{ABN}$=$\widehat{ADN}$ mà $\Delta$NAB cân tại N => $\widehat{ABN}$=$\widehat{BAN}$

$\Delta$NAM cân tại N => $\widehat{MAN}$=$\widehat{AMN}$ mà $\widehat{DAM}$=$\widehat{AMN}$

=>$\widehat{ADM}$=$\widehat{ABN}$=$\widehat{BAN}$=$\widehat{DAM}$+$\widehat{MAN}$=2$\widehat{DAM}$

$\boxed{31}$Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ ($R>r$). Dựng lần lượt hai tiếp tuyến $OB,O'C$ của hai đường tròn $(O';r)$, $(O;R)$ sao cho hai tiếp điểm $B,C$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $OO'$, Từ $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $O'C$ tại $K$, từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $OB$ tại $H$.

a) Gọi $D$ là giao điểm của $OB$ và $O'C$. Chứng minh $DO.BO'=CO.DO'$ và $DA$ là tia phân giác của góc $\widehat{ODO'}$.

b) Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $E$ ($E$ khác $A$). Chứng minh tứ giác $OABE$ nội tiếp đường tròn.

c) Đường thẳng $AK$ cắt đường tròn $(O';r)$ tại $F$ ($F$ khác $A$), $L$ là giao điểm của $BC$ và $EF$. Chứng minh $BF$ song song với $CE$ và 3 điểm $A,D,L$ thẳng hàng.

 

Trích trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh môn toán tỉnh Quảng Nam năm học 2020-2021. Thi vào ngày 10/4/2021.

Câu này mình có giải rồi. Lời giải của mình:

$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.

Cho tam giác ABC nhọn có các đỉnh M,N,P tạo với các cạnh AB,AC,BC thành các tam giác vuông cân tại M,N,P

Chứng minh rằng AF,CM,BN đồng quy.

Trường hợp đặc biệt của định lí Jacopi