Đến nội dung


12DecMath

Đăng ký: 25-03-2021
Offline Đăng nhập: 01-07-2022 - 16:20
*****

Chủ đề của tôi gửi

Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

15-02-2022 - 20:28

  • Vòng 1: 

$\text{Bài } 1:(4\textit{ điểm)}$ Giải hệ phương trình: 

$$\begin{array}{l} x^3-y-1=\sqrt[3]{x^3+y+1}\\ y+4=x+2\sqrt{x} \end{array}$$

$\text{Bài } 2:(4\textit{ điểm)}$ Cho tam giác $ABC$ nộp tiếp đường tròn $(O)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $DF, DE$. Đường tròn đường kính $XY$ cắt $BC$ tại $S, T$ với $S$ nằm giữa $B, T$. 

           a) Chứng minh $SX$ là phân giác trong của góc $AST$

           b) Chứng minh $(AST)$ tiếp xúc với $(O)$ 

$\text{Bài } 3:(4\textit{ điểm)}$ Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho $\frac{(n+1)^{3n+1}-3n-2}{3n+1}$ là số nguyên.

$\text{Bài } 4:(4\textit{ điểm)}$ Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ sao cho 

$$f(10f(x)+f(y))=10x+y$$ với mọi $x,y$ thuộc $\mathbb{Q}$.

$\text{Bài } 5:(4\textit{ điểm)}$ Xét $A$ là tập con của $S = \{1;2;\dots;2010\}$ sao cho tổng hai phần tử (phân biệt) tùy ý của $A$ không là bội của $125$.

           a) Cho ví dụ một tập hợp $A$ có đúng $1003$ phẩn tử.

           b) Tập $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?  

  • Vòng 2: 

$\text{Bài } 1:(5\textit{ điểm)}$

                Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức sau: 

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c} \geq 5$$ 

$\text{Bài } 2:(6\textit{ điểm)}$

                Cho tam giác $ABC \textit{(AB<AC)}$ nhọn nôi tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$, $G$ là trọng tâm và $D$ là chân đường cao của $A$ lên $BC$. Đường tròn $(BOC)\textit{(có đường kính $OO'$)}$ lần lượt cắt $AC$ và tia đối tia $BA$ tại $E,F$. Các tia $EO,FO$ cắt $(O)$ tại $E',F'\textit{(E',F' nằm cùng phía nhau bờ BC)}$. $BF',CE'$ cắt nhau tại $I$, chân đường vuông góc của $I$ lên $BC$ là $R$. $AI$ cắt lại $(O)$ tại $X, XR$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $P$. 

           a) Tia $PI$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $Y$. Gọi $T$ là tâm đường tròn $A-Apollonius$ của tam giác $ABC, OT$ cắt $AD$ tại $K, YK$ cắt $BC$ tại $Z$. Gọi $L$ là hình chiếu của $O$ lên $AZ$. Chứng minh rằng đường tròn $(DLZ)$ tiếp xúc với đường tròn $(BOC)$. 

           b) Tia $O'D$ cắt $(O)$ tại $D_1,D_2 \textit{($D_2$ thuộc đoạn O'D)}$. $D_1H$ cắt $D_2G$ tại $G_1$ và $D_2H$ cắt $D_1G$ tại $G_2$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $J$ là trung điểm $DM, G_1G_2$ cắt lại đường tròn $(G_1JR)$ tại $W$. Đường thẳng $WR$ cắt $G_2D, G_2M$ theo thứ tự tại $W_1, W_2.$ Chứng minh rằng $W$ là trung điểm của đoạn $W_1,W_2.$

$\text{Bài } 3:(5\textit{ điểm)}$

                Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 

           i)       $0 \leq f(m) \leq m^2; \forall m \in \mathbb N$

           ii)      $f(m)-f(n)$ chia hết cho $m-n; \forall m,n \in \mathbb N, m > n$

($N$ là tập số tự nhiên)

$\text{Bài } 4:(4\textit{ điểm)}$

                Chứng minh rằng $\binom{2n}{n} \mid \textit{lcm}(1,2,\dots,2n)$ với mọi số nguyên dương $n$; trong đó $\binom{m}{k}$ là tổ hợp chập $k$ của $m$ phần tử và $\textit{lcm}(a,b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$. 
                                                                                   __________________Hết__________________


Chứng minh (AST) tiếp xúc với (I)

26-01-2022 - 17:31

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $DE, DF$. Đường tròn đường kính $XY$ cắt $BC$ lần lượt tại $S, T$. Chứng minh rằng $(AST)$ tiếp xúc $(I)$


Chứng minh rằng nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

15-10-2021 - 08:33

Cho $S$ là tập số thực thỏa: 
i/ $1 \in S$

ii/ $\forall a,b \in S, a-b \in S$ 

iii/ $a \in S, a \ne 0$ thì $\frac{1}{a} \in S$

Chứng minh rằng $\forall a,b \in S$ thì $ab \in S$.

- Giúp với ạ, em cảm ơn :wub: 


Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dot...

05-10-2021 - 16:23

Cho em hỏi bài này với ạ . 

Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
 


Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho...

03-08-2021 - 16:37

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ