Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 17:23
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mat...

Hôm nay, 17:22

Bây giờ mình sẽ giải quyết các bài tồn đọng này nhé. 

 

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi  :lol:

 

Thay $x$ bởi $x+1$ ta có: $P((x+1)^2-2(x+1))=(P(x+1-2))^2$ $\Rightarrow$ $P(x^2-1)=(P(x-1))^2$

Đặt $P(x-1)=Q(x)$ ta có $Q(x^2)=Q(x)^2$

Đây là phương trình đa thức điển hình, mà ta dễ dàng có được 

$Q(x)=0 \Rightarrow P(x)=0$ và $Q(x)=x^n \Rightarrow P(x)=(x+1)^n$


Trong chủ đề: PTH Hosszu: $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\forall x,y\in...

Hôm qua, 23:36

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y)$
Vì $f(x)$ là nghiệm suy ra $f(x)-(ux+v)$ cũng là một nghiệm, không mất tính tổng quát ta giả sử $f(0)=f(-1)=0$
 
Đặt $h(x)=f(x)+f(-x)$
$P(x,-x)$ $\implies$ $h(x^2)=h(x)$ và vì $f$ liên tục, $h(x)=c$ là hàm hằng.
$h(0)=0$ suy ra $f(-x)=-f(x)$ $\forall x$
 
Cộng $P(\frac {x-1}2,-1)$ với $P(-\frac {x-1}x2,-1)$ vế theo vế, ta được $f(-x)=-f(x-2)$
Do đó $f(x+2)=f(x)$
 
Suy ra $f(n)=0$ $\forall n\in\mathbb Z$
$P(x,-1)$ trở thành $f(2x-1)=2f(x)$ suy ra $2f(x)=f(2x-1)=f(2x+1)=2f(x+1)$ $\Rightarrow$ $f(x+1)=f(x)$
 
$P(x,n)$ $\implies$ $f(nx)=f(x)+f(n-1)x$ suy ra $f(nx)=nf(x)$
Suy ra $f(\frac pqx)=\frac pq f(x)$ do đó $f(x)=0\quad\forall x\in\mathbb Q$
 
Và vì $f$ liên tục, $f(x)=0$ $\forall x$
 
Trở lại chỗ giả sử, ta đưcọ $\boxed{f(x)=ax+b\quad\forall x}$ , thử lại thấy thỏa mãn.

Trong chủ đề: $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$

Hôm qua, 22:46

Gọi $P(x,y)$ là phép thế $f(x+y)=\frac{x+y}{x-y}f(x)-\frac{x+y}{x-y}f(y)$ $\forall x\ne y$
$P(x+1,2)$ $\implies$ $f(x+3)=\frac{x+3}{x-1}f(x+1)-\frac{x+3}{x-1}f(2)$ $\forall x\ne 1$
$P(x,1)$ $\implies$ $f(x+1)=\frac{x+1}{x-1}f(x)-\frac{x+1}{x-1}f(1)$ $\forall x\ne 1$
Suy ra $f(x+3)=\frac{x+3}{x-1}\frac{x+1}{x-1}f(x)$ $-\frac{x+3}{x-1}\frac{x+1}{x-1}f(1)$ $-\frac{x+3}{x-1}f(2)$ $\forall x\ne 1$ (1)
$P(x+2,1)$ $\implies$ $f(x+3)=\frac{x+3}{x+1}f(x+2)-\frac{x+3}{x+1}f(1)$ $\forall x\ne -1$
$P(x,2)$ $\implies$ $f(x+2)=\frac{x+2}{x-2}f(x)-\frac{x+2}{x-2}f(2)$ $\forall x\ne 2$
Suy ra $f(x+3)=\frac{x+3}{x+1}\frac{x+2}{x-2}f(x)$ $-\frac{x+3}{x+1}\frac{x+2}{x-2}f(2)$ $-\frac{x+3}{x+1}f(1)$ $\forall x\ne -1,2$ (2)
Từ (1),(2) suy ra $f(x)=ax^2+bx$ $\forall x\notin\{-3,-1,1,2\}$ với vài giá trị $a,b\in\mathbb R$ 
Ta lại có $P(3,-6)$, $P(3,-4)$, $P(3,-2)$ và $P(4,-2)$ khẳng định được $f(x)=ax^2+bx$ $\forall x$
Vậy $\boxed{f(x)=ax^2+bx}$ $\forall x$, thử lại thấy thỏa mãn.

Trong chủ đề: PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

14-05-2021 - 23:11

tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

f$f\left ( xf(y) \right )+y+f(x)=f(x+f(y))+ yf(x) \forall x,y\in \mathbb{R}$ 

 

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của $f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x)$

 
Nếu $f(0)=1$, suy ra:
$P(0,x)$ $\implies$ $f(f(x))=2$ suy ra $f(1)=2$ và $f(x)$ không đơn ánh
$P(1,x)$ $\implies$ $f(1+f(x))=4-x$ suy ra $f(x)$ đơn ánh, suy ra điều mâu thuẫn với phép thế trên.
 
Suy ra $f(0)\ne 1$ hoặc $P(0,x)$ $\Rightarrow$ $f(f(x))=x(1-f(0))+2f(0)$ và $f(x)$ toàn ánh.
 
Đặt $u$ sao cho $f(u)=0$ : $P(x,u)$ $\implies$ $uf(x)=f(0)+u$
Suy ra $u=0$ (vì nếu không thì $f(x)$ hàm hằng,mâu thuẫn với $f$ toàn ánh). 
Suy ra $f(0)=0$ và $P(0,x)$$\Rightarrow$ $f(f(x))=x$
 
Nếu $f(1)\ne 1$, suy ra $P(\frac{f(1)}{f(1)-1},1)$ $\Rightarrow$ $0=1$, vô lí.
Suy ra $f(1)=1$
$P(1,f(x))$ $\implies$ $f(x+1)=f(x)+1$
Từ $P(x,y)$ cho $P(x,y+1)$, ta có $f(xf(y)+x)=f(xf(y))+f(x)$
Do đó $f(x)$ là hàm cộng tính (vì $f$ song ánh)
 
Lại có $P(x,f(y))$ $\Rightarrow$ $f(xy)=f(x)f(y)$ suy ra $f(x)$ là hàm nhân tính.
 
Dễ dàng thấy $f(x)$ vừa nhân tính, cộng tính ,mà $f$ lại toàn ánh, vì vậy
 
$\boxed{f(x)=x\text{  }\forall x}$, thử lại thỏa mãn.

Trong chủ đề: $f(x).f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$

13-05-2021 - 23:11

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x)f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$
 
Nếu $f(0)\ne 1$, $P(0,x)$ $\implies$ $f(x)=0$ $\forall x$, thử lại không thỏa mãn.
Suy ra $f(0)=1$
 
$P(x,-2x)$ $\implies$ $f(x)f(-x)=1-xf(-x)+x$
$P(-x,2x)$ $\implies$ $f(x)f(-x)=1+xf(x)-x$
Trừ vế theo vế, ta được $f(-x)=2-f(x)$ $\forall x\ne 0$, vẫn đúng với $x=0$
 
Do đó $P(-x,2x)$ trở thành $f(x)(2-f(x))=1+xf(x)-x$
Suy ra $(f(x)-1)(f(x)+x-1)=0$ $\forall x$
Do đó $\forall x$, $f(x)=1$ hoặc $f(x)=1-x$
 
Giả sử $\exists u,v\ne 0$ thỏa mãn $f(u)=1$ và $f(v)=1-v$
$P(v,u-v)$ $\implies$ $f(u+v)=1-v$ suy ra :
Với $f(u+v)=1$ $\Rightarrow$ $v=0$
Với $f(u+v)=1-u-v$ $\Rightarrow$ $u=0$
Vì thế không tồn tại $u,v$ . Như vậy ta có các đáp án sau:
$\boxed{f(x)=1\text{  }\forall x}$ thử lại thấy thỏa mãn.
$\boxed{f(x)=1-x\text{  }\forall x}$ , thử lại thấy thỏa mãn.