Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:10
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac...

20-10-2021 - 23:29

Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:

$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$

với mọi x,y$\epsilon R$

P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v :mellow:

 

Với đa thức hằng thì $P(x)=0$ thỏa

Với đa thức không hằng, đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

Gọi $n=deg P(x), n\geq 1$

Xét số hạng của bậc lớn nhất thì ta thấy $VT=a_n^2x^ny^n$, $VP=a_n^2(\frac{x+y}{2})^{2n}-a_n^2(\frac{x-y}{2})^{2n}$

Đồng nhất hệ số ta được $x^ny^n=\frac{1}{2^{2n}} xy(C_{2n}^1 x^{2n-2}+C_{2n}^3 x^{2n-4}y^2+...+C_{2n}^{2n-3} x^2y^{2n-4}+ C_{2n}^{2n-1} y^{2n-2})$

Dễ dàng thấy chỉ có $n=1$ thỏa do đó $P(x)=ax$

Thay lại vào phương trình đa thức thì $a=2$, do đó $P(x)=2x$.


Trong chủ đề: [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

17-10-2021 - 21:32

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$

 

Hướng làm: Mình cần nhẩm được nghiệm không hằng cho bài này để tiện hơn cho việc suy nghĩ bước đi tiếp theo. Nhìn vào phương trình hàm đề bài ta nghĩ ngay đến đẳng thức Cauchy-Scwarz: $(x^2+z^2)(y^2+t^2)=(xy-zt)^2+(xt+yz)^2$. Do đó mình suy ra được luôn hàm $f(x)=x^2$ là một hàm không hằng thỏa, còn sau đó có hàm không hằng nào đó thỏa nữa thì tùy hướng đi của mỗi người. Còn hàm hằng thì hiễn nhiên mọi người sẽ tìm được là $f(x)=0$ và $f(x)=\frac 12$

 

Cho $x=y=z=t=0$ thì $4f(0)^2=2f(0) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=\frac 12$

+) Với $f(0)=\frac 12$ thì cho $y=z=0$ và thay $t$ bởi $x$ ta được $[f(x)+\frac 12]^2=1$ thì được 2 hàm $f(x)=\frac{1}{2}$ (thỏa) và $f(x)=-\frac{3}{2}$ (loại)

+) Với $f(0)=0$ : 

Ta để ý rằng nếu cho $x=t=0$ thì $f(y)f(z)=f(yz)$ (*) là một hàm nhân tính. Dễ dàng thấy thêm hàm hằng $f(x) =0, \forall x\in\mathbb R$ thỏa. Ta xét đến các hàm khác hằng. Nhìn vào hàm không hằng thỏa ta đã thử thì ta phải giải luôn phương trình hàm nhân tính ấy. Tuy nhiên nếu giải thẳng ra trên $\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ luôn thì hàm ra được sẽ rất phức tạp cho việc thử lại. Do đó để khả thi hơn thì ta sẽ giải trên $\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$.

Muốn giải được hàm nhân tính thì ta phải có điều kiện $f$ là hàm tăng với mọi số thực dương (vì cách đặt ra hàm Cauchy cần ít nhất điều kiện yếu để được hàm tuyến tính)

Ta thấy khi $f(x)\geq 0$ với mọi $x\geq 0$ từ hàm nhân tính, ta sẽ coi $x,y$ là các số thực dương. Nếu thay $z$ bởi $y$ và $t$ bởi $x$ thì ta được $f(x^2+y^2) = [f(x) + f(y)]^2$ (**) $\geq f(x)^2=f(x)f(x)=f(x^2)$. Do đó $f$ là hàm tăng với mọi số thực dương $x,y$.

Do đó đặt $g(x)=\ln(f(e^x))$ thì ta sẽ được $g(x+y)=g(x)+g(y)$ là hàm tăng với mọi $x,y$ thực dương. Vì $g$ là hàm tăng nên $g$ tuyến tính do đó $g(x)=cx$ suy ra $f(x)=x^a$ với mọi $x$ thực dương, $a$ là hằng số bất kì.

Thay vào thì được $f(x)=x^2$, $\forall x\in\mathbb R^+$ 

Ta chỉ cần chứng minh thêm hàm chẵn thì sẽ ra được $f(x)=x^2, \forall x\in\mathbb R$

Thật vậy ta có thể dễ dàng chứng minh được bằng cách cho $x=y=0$ thì $f(z)f(t)=f(-zt)$ so với hàm nhân tính thì $f(xy)=f(-xy)$ suy ra hàm chẵn.

Như vậy kết luận các hàm thỏa là $f(x)=0$, $f(x)=\frac 12$, $f(x)=x^2$, $\forall x\in\mathbb R$.

 

P/s: Có một hướng khác cho việc đặt hàm phụ là đặt $f(x)=g(x)^2$ và khi thay vào (*) (**) thì được tương ứng là $g(xy)=g(x)g(y)$ và $g(x+y)=g(x)+g(y)$. Đây là một bài phương trình hàm phụ rất quen thuộc mà mình muốn mọi người tự suy nghĩ để hoàn thiện nó. Phần còn lại giống hết bước kia.  ~O) 


Trong chủ đề: $AF\perp OI$

10-10-2021 - 11:19

$M,N$ là điểm gì vậy bạn?


Trong chủ đề: Cho đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $P(1 + \sqrt{2}) =...

10-10-2021 - 09:45

Chỉ cần bạn nắm được là vì là đa thức hệ số nguyên nên từ $P(1+\sqrt 2)=0$ thì $P(-1)=0$ thì do đó $P(1-\sqrt 2)=0$


Trong chủ đề: $$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\...

23-09-2021 - 11:25

Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.

 

Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý  :ohmy: