Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Offline Đăng nhập: 12-08-2022 - 21:22
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Trại hè hùng vương 2019

03-07-2022 - 09:32

Bài 5:

Với $6$ điểm không tồn tại $3$ điểm thẳng hàng, ta luôn có thể tạo thành tam giác từ $3$ điểm bất kì.

Xét số điểm xanh là $3+k$ và số điểm đỏ là $3-k$ (với $k\in [-3;3]$ )

Với $k=0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có $2$ tam giác đơn sắc khác màu.

Với $k\neq 0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có một màu có số điểm $\geq 4$, điều này đồng nghĩa có nhiều hơn $2$ tam giác đơn sắc cùng màu.

Vậy số tam giác đơn sắc ít nhất được tạo thành bởi giả thiết bài toán là $2$.

 

Hình như bạn bị nhầm đề vì trong đề là tô màu cạnh chứ không phải điểm nên không thể chỉ ra có $\geq 4$ điểm đỏ-xanh là có 2 tam giác đâu nhé


Trong chủ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Đườn...

02-07-2022 - 23:17

Gọi $K,L$ lần lượt là giao điểm của $AH', GH'$ lên $XY$ 

Kẻ hình chữ nhật $AHMG$, lại có $AM=GH=GH'$ nên $AMH'G$ là hình bình hành. 

Ta có $\widehat{AXM}+\widehat{BAC}=\widehat{BPM}+\widehat{PBM}=90^{\circ}$

Suy ra $XM \perp AY$. Tương tự có $YM\perp AY$ nên $M$ là trực tâm của $\triangle AXY$

Sử dụng bổ đề (như trong hình) ta có $H'$ là trực tâm của $\triangle GXY$

Ta có $\widehat{EPF} = \widehat{H'PM}+\widehat{H'PF} = \widehat{H'XF}+\widehat{H'YE}=(\widehat{XH'L}-\widehat{XAL})+(\widehat{YH'L}-\widehat{YAL})$

$=\widehat{XH'Y}-\widehat{BAC}=\widehat{XH'K}+\widehat{YH'K}-\widehat{BAC}=90^{\circ}-\widehat{XGK}+90^{\circ}-\widehat{YGK}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-2\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BOC}=\widehat{BPC}$

Do đó $\widehat{EPB}=\widehat{FPC}$


Trong chủ đề: Trại hè hùng vương 2019

02-07-2022 - 20:27

Bài 2:

a) Ta có $P$ là tâm vị tự biến $(K)$ thành $(O)$

Ta lại thấy $AP$ cắt $(K)$ tại $D$ nên $D$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $P$ 

Suy ra $OA//KD$ nên tiếp tuyến tại $A$ và $D$ của $(O)$ và $(K)$ song song nhau. 

b) Ta có 2 bổ đề sau: 

Bổ đề 1: $PE,PF$ đi qua $X,Y$

Bổ đề 2: $IPBF$ và $IPCE$ nội tiếp

(Tự chứng minh vì nó là tính chất của đường tròn Mixtilinear)

Ta có $\stackrel\frown{AX}=\stackrel\frown{CX} \Rightarrow \stackrel\frown{AX}+\stackrel\frown{CP}=\stackrel\frown{PX}\Rightarrow \widehat{PEC}=\widehat{PBX}$

Từ đó ta được $\widehat{YAZ}=\widehat{PFE}=\widehat{PBX}=\widehat{PEC}=\widehat{AEX}=\widehat{AZX} \Rightarrow XZ//AY$

Tương tự thì $YZ//AX$ nên $AXZY$ là hình bình hành. Do đó $AZ$ đi qua trung điểm $XY$. 


Trong chủ đề: [TOPIC] Phương trình hàm trên tập rời rạc

01-01-2022 - 15:19

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $( n-1)^{2} < f( n) f( f( n)) < n^{2} +n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

 

Sắp tới kì thi VMO rồi nên cũng không on mấy đâu hehe  :icon6:

 

Giả sử $f(n)>n$, hay $f(n)\geq n+1$ suy ra $f(f(n))(n+1)\leq f(f(n))f(n)\leq n(n+1)\Rightarrow f(f(n))\leq n<f(n) \Rightarrow f(f(n))<f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))>f(n)$)

Giả sử $f(n)<n$, hay $f(n)\leq n-1$ suy ra $f(f(n))(n-1) \geq f(f(n))f(n) \geq (n-1)^2 \Rightarrow f(f(n))\geq n>f(n)\Rightarrow f(f(n))>f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))<f(n)$)

Suy ra $f(n)=n, \forall n\in\mathbb Z^+$.


Trong chủ đề: $f(x)=\sqrt{\frac{x-\sin A}{x-\sin C}}+\sqr...

22-11-2021 - 11:02

TXĐ: $x\leq \sin C$ và $x\geq \sin A$

Viết đạo hàm ra thì thấy hàm đồng biến trên tập xác định của $x$. 

Lập bảng biến thiên thì ta thấy là trong khoảng $(-\infty , \sin C]$ thì hàm số chạy từ $1$ đến $+\infty$, còn trong khoảng $[\sin A, +\infty)$ thì hàm chạy từ $f(\sin A)$ đến $1$ nên ta có thể kết luận là \[f(x) \ge f(\sin A) = \sqrt {\frac{{\sin A - \sin B}}{{\sin A - \sin C}}}  - 1\]