Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Online Đăng nhập: Hôm nay, 23:01
*****

#729099 Đề thi IMO 2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong Hôm qua, 10:30

217951992_544984973371375_16446319488825




#729050 Đề thi IMO 2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 21-07-2021 - 06:47

Đề thi IMO 2021 (Bản tiếng Việt)
 
Ngày thứ nhất:
Câu 1: Cho $n\geq 100$. Toshi viết mỗi số $n,n+1,n+2,...,2n$ lên một thẻ khác nhau. Anh ta tráo $n+1$ tấm thẻ này và chia làm 2 phần. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phần có chứa 2 tấm thẻ với tổng của hai số trên đó là một số chính phương.
 
Câu 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,...,x_n$.
 
Câu 3: Cho điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao $\angle DAB = \angle CAD$. $E$ nằm trên đoạn thẳng$AC$ sao cho $\angle ADE=\angle BCD$, điểm F nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\angle FDA=\angle DBC$ và điểm $X$ nằm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BX=CX$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, $EXD$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,EF$ và $O_1O_2$ đồng quy.
 
Ngày thứ 2:
Câu 4: Cho đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$, và tứ giác lồi $ABCD$ sao cho mỗi đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Tia $BA$ cắt $\Omega$ tại $X$ (không thuộc đoạn thẳng $BA$), tia $BC$ cắt $\Omega$ tại $Z$ (không thuộc đoạn thẳng $BC$). Tia $AD$ và $CD$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ (không thuộc đoạn thẳng $AD$) và $T$ (không thuộc đoạn thẳng $CD$). Chứng minh rằng: $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$
 
Câu 5: Hai chú sóc, Grace và Jumpy, đi nhặt $2021$ hạt dẻ cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt dẻ từ $1$ đến $2021$, và đào $2021$ cái lỗ nhỏ theo hình vòng tròn quanh một gốc cây yêu thích của nạn. Sáng hôm sau, Jumpy phát hiện ra rằng Grace đã bỏ mỗi lỗ nhỏ một hạt dẻ nhưng không để ý đến các số ghi trên các hạt dẻ. Jumpy quyết định sắp xếp lại các hạt dẻ bằng cách thực hiện một dãy gồm $2021$ bước. Trong bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ ở ngay bên cạnh của hạt dẻ được đánh số $k$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $k$ sao cho ở bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ được đánh số $a$ và $b$ với $a<k<b$.
 
Câu 6: Cho $m\geq 2$ là một số nguyên. $A$ là một tập hợp hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết dương), và $B_1,B_2,B_3,...,B_m$ là các tập con của $A$. Giả sử với mỗi số $k=1,2,...,m$, tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$. Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $m/2$ phần tử.



#728293 Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 20-06-2021 - 16:54

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc:
$(a+b+c)^5 \ge 81abc(a^2+b^2+c^2)=243abc \implies a+b+c \ge 3\sqrt[5]{abc}$
Như vậy ta cần chứng minh:
\[15\sqrt[5]{abc}+\frac3{abc} \ge 18\]
Tuy nhiên đây là điều hiển nhiên vì theo bđt A-G cho 18 số không âm ta có:
\[15\sqrt[5]{abc}+\frac3{abc} \ge 18\sqrt[18]{(\sqrt[5]{abc})^{15}\cdot\frac1{(abc)^3}}=18\]



#728151 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 15-06-2021 - 18:38

$\left\{\begin{matrix} x^4+y^4+6x^2y^2=1(1)\\ x(x+y)^4=x-y(2) \end{matrix}\right.$

 

Phương trình (1) tương đương $(x+y)^4=4xy(x^2+y^2)+1$

Thay vào phương trình (2) ta được $x[4xy(x^2+y^2)+1]=x-y \Leftrightarrow y[4x^2(x^2+y^2)+1]=0$

Suy ra $y=0$ (vì $4x^2(x^2+y^2)+1>0$)

Thay vào (1) để được $x=1$ hoặc $x=-1$




#728150 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 15-06-2021 - 18:20

Còn đây là của chuyên Hà Nội vừa thi xong:

 

$\boxed{21}$: $x^2+x+2-2\sqrt{x+1}=0$ (khá là dễ :)) )

 

Tách là $x^2+ (\sqrt{x+1} - 1)^2 = 0$. Vậy nghiệm là $x=0$




#728146 Tính P = $xy + \sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 15-06-2021 - 17:46

Cho $(x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})$ = 2019.

 

Tính P = $xy + \sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$.

 

Nhờ mọi người giúp mình bài này với ạ! Mình cảm ơn!

 

Rất đơn giản: 

Ta có $(x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2019$ (1)
Ta cũng có $(x-\sqrt{x^{2}+1})(y-\sqrt{y^{2}+1})=\frac{1}{2019}$ (2)
Lấy (1) trừ (2), vế theo vế ta có $2(x\sqrt{y^{2}+1}+y\sqrt{x^{2}+1})=\frac{2018}{2019}$, nên $x\sqrt{y^{2}+1}+y\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1009}{2019}$.
Do đó $P= (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1}) - x\sqrt{y^{2}+1}+y\sqrt{x^{2}+1} = 2019-\frac{1009}{2019} = \boxed{\frac{4075352}{2019}}$ (chỗ này bạn bấm máy tính đi mình đang không cầm máy tính :Đ )



#728126 $f(x)f(1-x)=a-25+x-x^2, \forall x \in \mathbb{R^+...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 15-06-2021 - 00:34

Dễ dàng thấy không có hàm nào thỏa vì nếu ta chon $x \rightarrow +\infty$, ta sẽ được VT luôn dương (theo giả thiết) và VP âm với vài giá trị $x \in \mathbb R^+$




#727870 $3(a^2+b^2+c^2)\geq a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2+1$

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 05-06-2021 - 14:55

từ gt thu được $a,b,c<1$ đó cậu

 

Oke rồi.  :D




#727867 $2f(x)=f\bigg(\dfrac{x}{x^2+x+1}\bigg)+f\bigg(\...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 05-06-2021 - 14:44

Tìm tất cả các hàm số $f$ liên tục: $[0;+\infty)\to [0;+\infty)$ thoả mãn 

$2f(x)=f\bigg(\dfrac{x}{x^2+x+1}\bigg)+f\bigg(\dfrac{x+1}{2}\bigg)$ với mọi $x\ge 0$.

 

Đáp án câu này:

Gọi $P(x)$ là phép thế của phương trình hàm $2f(x)=f(\frac x{x^2+x+1})+f(\frac{x+1}2)$
Đặt $c=f(1)$
Đặt $g(x)=\frac{x+1}2$
Vì $f$ liên tục, $f(x)$ bị chặn trong khoảng $[0,1]$ do đó $\exists u,v\in[0,1]$ sao cho $f(u)\le f(x)\le f(v)$ $\forall x\in[0,1]$
Nhưng $x\in[0,1]$ cho thấy $\frac x{x^2+x+1}$ và $\frac{x+1}2$  $\in[0,1]$ 
Vì vậy $P(v)$ cho ta được $f(\frac{v+1}2)=f(v)$ và, từ khi ta thế liên tục để $\frac{x+1}2$ tiến dần về $1$, vì $f$ liên tục nên ta được $f(v)=f(1)$
Tương tự với phép thế $P(u)$ ta được $f(u)=f(1)$
Nên $f(x)=c$ là hàm hằng trong khoảng $[0,1]$
Và $P(x)$ trở thành phép thế của $Q(x)$ : $f(x)=\frac c2+\frac 12f(g(x))$ $\forall x$
Vì thế $f(x)=\frac c2+\frac c4+\frac 14f(g(g(x)))$
Chứng minh bằng quy nạp ta có được $f(x)=c(1-2^{-n})+2^{-n}f(g^{[n]}(x))$
Cho $n\to+\infty$, ta có $\lim_{n\to+\infty}g^{[n]}(x)=1$ và $f$ liên tục nên ta được 
$\boxed{f(x)=c\quad\forall x\ge 0}$, thỏa với $c\ge 0$



#727704 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 29-05-2021 - 10:19

Hình như sai đề anh ạ, không thể chứng minh được nhé

 

Bạn pkh2705 đã confirm lại đề bài rồi nhé. Đáp án sẽ có sau. 




#727671 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 28-05-2021 - 10:41

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4$ là số chính phương

Gợi ý:

  • Chứng minh bài toán phụ: Chứng minh nếu $\frac{x^2+1}{y^2}+4$ là số chính phương thì $\frac{x^2+1}{y^2}+4=9$
  • Nếu như vậy, ta sẽ có một phương trình Pell loại 2: $x^2-5y^2=-1$

Đáp án: $(x,y)$ là những nghiệm của phương trình sau $(2 + \sqrt{5})^z = x + y\sqrt{5}$




#727523 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 23-05-2021 - 22:41

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

 

Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật của phương trình Diophante)

Dễ dàng chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên tố với $p=q$, ta giả sử $p \neq q$ suy ra:
$$q \vert p^3-p^2 \Rightarrow q \vert p-1 \Rightarrow p=kq+1$$
Chọn $k$ tương ứng ta dễ dàng kiểm tra được $p \neq q+1$ nên ta giả sử $k \geq 2$. Ta lại có:
$$p \vert q^3+1=(q+1)(q^2-q+1) \Rightarrow p \vert q^2-q+1$$
Ta có thể viết lại là:
$$kq+1 \vert q^2-q+1 \vert kq^2-kq+k \Rightarrow kq+1 \vert k-q+1$$
Nếu $k>q-1$ ta có:
$$kq+1 \leq k-q+1 \Leftrightarrow 1 \geq (k+1)(q-1) \geq 2$$
Suy ra điều mâu thuẫn. Tương tự với $k<q-1$ ta có:
$$kq+1 \leq q-k-1 \Leftrightarrow -3 \geq (k-1)(q+1) \geq 0$$
Ta lại thấy điều mâu thuẫn từ đó $k=q-1 \Rightarrow p=q^2-q+1$.
Do đó phương trình tương đương
$$q(q-3)(q^2+1)(q^2-q+1)=0$$
Vậy nghiệm duy nhất là $q=3,p=7$



#727472 [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 22-05-2021 - 23:37

Những bài tiếp theo:

$\boxed{15}$ Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa

 $$ f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0), \forall x,y \in \mathbb R$$

$\boxed{16}$ Cho tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R$ thỏa 

$$f(a+b+c+d) = f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Chứng minh rằng $f$ là hàm cộng tính




#727393 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 21-05-2021 - 13:16

$\boxed{140}$ Tìm tất cả số nguyên dương $x,y,z$ và số nguyên tố $p$ sao cho $(2x+3y)(3x+2y)=p^z$


#727357 [MARATHON] Chuyên đề Bất đẳng thức

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 20-05-2021 - 23:01

Bây giờ là bài số 24

$\boxed{24}$ Cho $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$$3\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9+c^9}{3}} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$