Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Offline Đăng nhập: 12-08-2022 - 21:22
*****

#733873 Trại hè hùng vương 2019

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 03-07-2022 - 09:32

Bài 5:

Với $6$ điểm không tồn tại $3$ điểm thẳng hàng, ta luôn có thể tạo thành tam giác từ $3$ điểm bất kì.

Xét số điểm xanh là $3+k$ và số điểm đỏ là $3-k$ (với $k\in [-3;3]$ )

Với $k=0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có $2$ tam giác đơn sắc khác màu.

Với $k\neq 0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có một màu có số điểm $\geq 4$, điều này đồng nghĩa có nhiều hơn $2$ tam giác đơn sắc cùng màu.

Vậy số tam giác đơn sắc ít nhất được tạo thành bởi giả thiết bài toán là $2$.

 

Hình như bạn bị nhầm đề vì trong đề là tô màu cạnh chứ không phải điểm nên không thể chỉ ra có $\geq 4$ điểm đỏ-xanh là có 2 tam giác đâu nhé




#733868 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Đường ca...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 02-07-2022 - 23:17

Gọi $K,L$ lần lượt là giao điểm của $AH', GH'$ lên $XY$ 

Kẻ hình chữ nhật $AHMG$, lại có $AM=GH=GH'$ nên $AMH'G$ là hình bình hành. 

Ta có $\widehat{AXM}+\widehat{BAC}=\widehat{BPM}+\widehat{PBM}=90^{\circ}$

Suy ra $XM \perp AY$. Tương tự có $YM\perp AY$ nên $M$ là trực tâm của $\triangle AXY$

Sử dụng bổ đề (như trong hình) ta có $H'$ là trực tâm của $\triangle GXY$

Ta có $\widehat{EPF} = \widehat{H'PM}+\widehat{H'PF} = \widehat{H'XF}+\widehat{H'YE}=(\widehat{XH'L}-\widehat{XAL})+(\widehat{YH'L}-\widehat{YAL})$

$=\widehat{XH'Y}-\widehat{BAC}=\widehat{XH'K}+\widehat{YH'K}-\widehat{BAC}=90^{\circ}-\widehat{XGK}+90^{\circ}-\widehat{YGK}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-2\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BOC}=\widehat{BPC}$

Do đó $\widehat{EPB}=\widehat{FPC}$

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG



#733865 Trại hè hùng vương 2019

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 02-07-2022 - 20:27

Bài 2:

a) Ta có $P$ là tâm vị tự biến $(K)$ thành $(O)$

Ta lại thấy $AP$ cắt $(K)$ tại $D$ nên $D$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $P$ 

Suy ra $OA//KD$ nên tiếp tuyến tại $A$ và $D$ của $(O)$ và $(K)$ song song nhau. 

b) Ta có 2 bổ đề sau: 

Bổ đề 1: $PE,PF$ đi qua $X,Y$

Bổ đề 2: $IPBF$ và $IPCE$ nội tiếp

(Tự chứng minh vì nó là tính chất của đường tròn Mixtilinear)

Ta có $\stackrel\frown{AX}=\stackrel\frown{CX} \Rightarrow \stackrel\frown{AX}+\stackrel\frown{CP}=\stackrel\frown{PX}\Rightarrow \widehat{PEC}=\widehat{PBX}$

Từ đó ta được $\widehat{YAZ}=\widehat{PFE}=\widehat{PBX}=\widehat{PEC}=\widehat{AEX}=\widehat{AZX} \Rightarrow XZ//AY$

Tương tự thì $YZ//AX$ nên $AXZY$ là hình bình hành. Do đó $AZ$ đi qua trung điểm $XY$. 

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG



#732291 [TOPIC] Phương trình hàm trên tập rời rạc

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 01-01-2022 - 15:19

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $( n-1)^{2} < f( n) f( f( n)) < n^{2} +n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

 

Sắp tới kì thi VMO rồi nên cũng không on mấy đâu hehe  :icon6:

 

Giả sử $f(n)>n$, hay $f(n)\geq n+1$ suy ra $f(f(n))(n+1)\leq f(f(n))f(n)\leq n(n+1)\Rightarrow f(f(n))\leq n<f(n) \Rightarrow f(f(n))<f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))>f(n)$)

Giả sử $f(n)<n$, hay $f(n)\leq n-1$ suy ra $f(f(n))(n-1) \geq f(f(n))f(n) \geq (n-1)^2 \Rightarrow f(f(n))\geq n>f(n)\Rightarrow f(f(n))>f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))<f(n)$)

Suy ra $f(n)=n, \forall n\in\mathbb Z^+$.




#731711 Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 20-11-2021 - 22:14

Cái này còn 1 hàm $f(x)=-x-2$ nữa anh ơi   :icon6:

 

à thì tại anh lười tính á chứ nếu tính lại thì sẽ có hàm đó thôi  :icon6: . Cái chính vẫn là đưa ra hàm tuyến tính. 




#731687 Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 18-11-2021 - 14:48

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Thay $y=0$ thì $f(x+f(0))=x$ suy ra $f$ là hàm toàn ánh

Do đó tồn tại $c\in\mathbb R$ sao cho $f(c)=0$

Thay $y=c$ ta được $f(x)=(c+1)x+c$, hay $f(x)=\alpha x+\beta$ với $\alpha , \beta$ là 2 hằng số bất kì.

Thay vào tìm được $\alpha =1$, $\beta = 1$ suy ra $f(x)=x, \forall x\in\mathbb R$, thỏa mãn phương trình hàm đề bài.




#731646 [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 15-11-2021 - 22:56

Thêm vài bài mừng 200 posts :v

 

$\boxed{26}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x^3+x-2+y)=f(x^3+x-2)+f(y^3), \forall x,y\in\mathbb{R}$$
$\boxed{27}$ Tìm tất cả hàm $f,g:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn 
$$f(x^3+4y)+f(x+y)=g(x+y), \forall x,y,\in\mathbb R$$
$\boxed{28}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x)^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)), \forall x,y\in\mathbb R$$ 
Gợi ý: Chứng minh $\forall x\in\mathbb R$ thì $x=f(u_1(x))\pm f(u_2(x))$.
$\boxed{29}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R \to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x^2f(x)+ f(y))=f(x)^3 + y, \forall x,y \in \mathbb R$$
$\boxed{30}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn
$$ f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y), x,y \in \mathbb R$$



#731627 $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 14-11-2021 - 09:33

Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$

Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$

Ta có: 

$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1

$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2

$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3

$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4

Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$

$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$

mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$

$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5

Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:

$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6

Thay x=y vào @6, ta được:

$yf(2y)=f^2(y)$ @7

@1 kết hợp với @7 

$\Rightarrow f(y)=0$

Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm

(Cách này ra chỉ 1 TH  :( )

 

Thay $y$ bởi $x$ vào (6) của ban được cái y hệt như cái (1) nên không rút gọn được




#731486 Tìm số hạng tổng quát của dãy số $U_{n+2}=5U_{n+1}-6...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 05-11-2021 - 20:54

Nhưng em tưởng phương trình sai phân thuần nhất ms làm đc vậy ạ?

Ta có $U_{n+2}=5U_{n+1}-6U_{n}-2$

$U_{n+3}=5U_{n+2}-6U{n+1}-2$

$\rightarrow$$U_{n+3}-6U_{n+2}+11U_{n+1}-6U_{n}=0$ có nghiệm 1;2;3.

$\rightarrow$ $u_{n}=A.2^{n}+B.3^{n}+C$

 

À dị là em nhầm rồi vì của anh là phương trình tuyến sai phân cấp 2, còn của em là cấp 3 mất rồi :Đ. Anh cx sửa lại tí là cái hàm phụ $v_n=u_n-2$ mới được giải theo như trên.




#731341 [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 27-10-2021 - 08:30

Những bài tiếp theo: 

$\boxed{23}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^{\geq 0} \to\mathbb R^{\geq 0}$ thỏa mãn $f(xf(y))+f(f(y)) = f(x)f(y)+2, \forall x,y \in\mathbb R^{\geq 0}$

$\boxed{24}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall x,y\in\mathbb R$

$\boxed{25}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(\sqrt{x^2+y^2})= f(x)+ f(y), \forall x,y\in\mathbb R$




#731338 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 26-10-2021 - 23:46

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.

 

Xét tam giác $\triangle ABC$, $a=BC, b=AC, c=AB$ và giả sử $a\geq b$. Dễ thấy $f(x)=\tan x$ đồng biến trên $(0,\pi)$ nên theo bất đẳng thức Chebyshev ta có $2(a+b)= 2\tan {\frac{C}{2}}(a\tan A +b\tan B)\ge \tan {\frac{C}{2}}(a+b)(\tan A+\tan B) \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}}(\tan A+\tan B) \leq 2 \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}} (\sin A \cos B + \sin B \cos A) \leq 2\cos A\cos B \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}} \sin{(A+B)} \leq \cos{(A+B)} +\cos{(A-B)} \Rightarrow cos(A-B)-\cos C\ge 2(\sin\frac{C}{2})^2 \Rightarrow cos(A-B)\geq 2(\sin\frac{C}{2})^2 + \cos C = 1$

Suy ra $\cos{(A-B)}=1\Rightarrow A-B=0 \Rightarrow A=B$

Do đó tam giác $ABC$ cân tại A




#731333 [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 26-10-2021 - 22:33

Một số bài tiếp theo 

$\boxed{19}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $$f(x+y)=g(x)+h(y), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{20}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to \mathbb R$ thỏa $$f(x+y)+f(x-y) = 2(f(x)+f(y)), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{21}$ Tìm tất cả hàm liên tục tại 0 thỏa $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{22}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^+ \to\mathbb R^+$ là $f$ là ánh xạ biến cấp số cộng $x$, $x+y$, $x+2y$ thành cấp số nhân $f(x)$, $f(x+y)$, $f(x+2y)$ và thỏa mãn $$f(x+y)^2=f(x)f(x+2y), \forall x,y\in\mathbb R^+$$




#731330 $(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2}...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 26-10-2021 - 20:42

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1)=1$. Chứng minh rằng $(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2})(c^{2}+ca+ba^{2})\leq27$

 

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp delta rằng $(a^2+ab+b^2)\leq 3(a^2-a+1)(b^2-b+1)$. Tương tự cho $b^2+bc+c^2, c^2+ca+a^2$, nhân vế theo vế và ta có đpcm.




#731290 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 24-10-2021 - 16:20

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.

 

Gợi ý: Cho $A=f(\mathbb N)\cup[1,1987]$ và $B=(\mathbb N\cup[1,1987])\setminus A$. Chứng minh $|A| = |B|$

 



#731281 $P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 23-10-2021 - 20:47

$$f^{2}\left ( x \right )\text{
vs }\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )^{2}
$$
Như mình được học lóm thì:
$f^{2}\left ( x \right )=\left ( f\circ f \right )\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )$
trong khi đó :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )$
Thí dụ :
Nếu $f\left ( x \right )=2x$ thi :
$f^{2}\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2\cdot 2x=4x$ và :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )=2x\cdot 2x=4x^{2}$

 

Thực ra tùy nguồn thôi: 

Ở Việt Nam, phần lớn file hồi xưa coi $f^2(x)=[f(x)]^2=f(x)f(x)$ còn $f(f(x))$ được giữ nguyên, cũng vì khá là ít bài liên qua đến hàm hợp bậc cao.

Còn ở nước ngoài, họ chế phần lớn những bài về hàm nên họ có thống nhất khá là chung là $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$ còn $f(x)^2=[f(x)]^2=f(x)f(x)$