pcoVietnam02

Ảnh mới up trước đây luôn

Bài tập tiếp theo (bài này mới thấy đăng nhưng mà hình như xóa mất tiêu, định up lời giải lên nhưng thôi gởi lên đây vì thấy cũng hay) :

$\boxed{11}$ Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục $ f: [0; \infty) \rightarrow [0; \infty)$ thỏa:

Ơ em tưởng hàm Cauchy có nghiệm nhiều hơn như thế nữa chứ

Mình xét hàm cộng tính nha em, nên nó sẽ là $f(x)=cx$ , $c$ là hằng số

Bài 4a: Bài này có thể giải được nếu ta lập luận, sử dụng phép chọn

Ta có $a^2+3b^2=7^9$

$\Leftrightarrow a^2-4b^2+7b^2=7^9$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a+2b) = 7(7^8-b^2)$

Ta có thể chọn $b=7^4$ để $VP=0$ thì ta sẽ có $a=2b$ do đó $a=2.7^4$

Như vậy ta đã chọn được 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho thỏa mãn YCBT.

Câu 2: Đặt $f(t)=t^2$ , $g(t) = t+2$   

Giả sử $x = max${$x,y,z$}

Ta có được $x\geq z$ và $x \geq y$ 

$g(x) \geq g(y)$ và $g(x) \geq g(z)$ (vì $x,y,z \geq 0$ nên $f(t) , g(t)$ đồng biến trên $[0; \infty)$ )

Suy ra $g(x) \geq f(x)$ và $g(z) \leq f(z)$

Giải 2 cái bất phương trình trên được $-1 \leq x \leq 2$ với lại $z \geq 2$ hoặc $z \leq -1$

Kết hợp các điều kiện trên ta có $x=z=2$ hoặc $x=z=-1$ 

Thay vào cũng được $y=2$ hoặc $y=-1$

Vậy $x+y+z$ là số nguyên.

Một số bài tập mới cho mọi người: 

$\boxed{9}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(1-x)=1-f(f(x))$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

$\boxed{10}$ Tìm tất các hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(1+xf(y))=yf(x+y)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R^+}$

Đáp án và gợi ý câu 6 và 7: 

$\boxed{6}$ $f(x)=x$ và $f(x)=-x$

Gợi ý: Đưa về dạng $f(x)f(y)=xy$ để có được $f(x)=\frac{1}{c}x$ rồi sau đó thay vào ta được $c=1$ hoặc $c=-1$ 

$\boxed{7}$ $f(x)=0$ 

Gợi ý: Sử dụng phương pháp CDE (thêm biến) để dễ dàng hơn trong việc đổi vị trí các biến để có được: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)-c$

Tới đây đặt $g(x)=f(x)+c$, ta có được hàm Cauchy. Do đó $f(x)=mx-c$ . Thay vào phương trình hàm đề bài ta có $m=0 , c=0$

Vậy $f(x)=0$

$\boxed{8}$ (Olympic 30-4): Tìm tất cả hàm số $f:(0;+\infty)\rightarrow(0;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện: $f(x+f(y))=xf\left ( 1+f\left ( \frac{y}{x} \right ) \right )$.

có f(n+1)=f(n-1)-f(n) mà f(n)=f(n-2)-f(n-1)

=> f(n+1)=2f(n-1)-f(n-2)

=>f(n+1)=2f(n-3)-3f(n-2)

=>f(n)=(-1)^k(F_k+1f(n-k)-F_kf(n-k-1))

=>f(n)=(-1)^n-2(F_n-1f(2)-F_n-2f(1))

=>f(n)=(-1)ⁿF_n-2

lim ra vô hạn mà mn

Bài này mình sẽ giải theo hướng phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Đầu tiên tính nhẩm $f(3)=-1$. Ta nghĩ ngay đến phương pháp dãy số, vì dãy trên nếu nhẩm nhiều giá trị $f$ sẽ cho ra dãy khá giống với dãy Fibonacci. 

Đặt $f(n) = u_{n}$

Ta sẽ có được $u_{n+1} - u_{n} +u_{n-1} = 0$

Phương trình đặc trưng: $\lambda ^2- \lambda +1=0$

Suy ra sẽ có nghiệm $\lambda = \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\imath$

Do đó $u_{n} = A cos (n \frac{\pi}{3}) + B sin (n \frac{\pi}{3})$ 

Thay $n=1$ , $n=2$ rồi giải hệ ta được $A=1$ , $B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Vậy $f(n) =  cos (n \frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{3}sin (n \frac{\pi}{3})$

Còn ý chứng minh bất đẳng thức kia dễ, các bạn tự làm. 

Em làm hơi dài:

Suy ra $f(x)^2=x^2$.

Do đó ta có f(1) = 1 hoặc f(1) = -1.

+) TH1: f(1) = 1: Thay x = 1 vào (*) ta có $f(f(y)+1))=y+1$.

Nếu tồn tại y khác 0 sao cho $f(y)=-y$ thì $f(-y+1)=y+1$. Rõ ràng $f(-y+1)=-y+1$ hoặc $y-1$ khác $y+1$.

Từ đó với mọi y khác 0 ta có $f(y)=y$. Thử lại thấy thỏa mãn

+) TH1: f(1) = -1: Tương tự ta có $f(y)=-y$ với mọi $y\neq 0$.

Vậy $f(x)=x;f(x)=-x$.

Chính xác rồi đó. Nhưng khúc này ta có thể làm theo cách này nhanh hơn: 

Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=-a, f(b)=b$. Ta chứng minh khi thế vào phương trình hàm đề bài thì $a=0, b=0$. Điều đó cho ta nhận cả hai hàm như trên. Việc còn lại ta chỉ cần thay vào là xong thôi

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi 

Bài này là đa thức nhưng mà sử dụng phép thế chứ không liên quan đến phương trình hàm lắm. Nhưng nếu bạn có đáp án thì gửi luôn để mọi người tham khảo còn nếu không thì mình sẽ giải cho.

Khác chứ. Nhưng lời giải của nó khá khó nên anh khuyên em nên thử sức với 2 bài đầu tiên

bài này là dãy mà

Đúng rồi nhưng bài này là phương trình hàm nhưng lại sử dụng phương pháp tuyến tính sai phân cấp 2 thôi. Bạn làm thử đi 

Đây là một bài khá thú vị dành cho các bạn học sinh lớp 10 đã học về dãy số:

$\boxed{4}$ Cho các hàm $f:\mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(n+1)=f(n-1)-f(n)$ , $f(1)=1$ , $f(2)=0$ 

Chứng minh rằng: $|f(n)| \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Đề cho x,y,z nguyên chứ không phải nguyên dương đâu bạn

Bài này nếu nguyên sẽ vô số nghiệm vì ta sẽ dễ dàng lấy nghiệm $(n;0;-n)$ và các nghiệm khác như $(1;2;3)$ , $(-1;-2;-3)$

Mình sẽ cho các bạn đáp án trước và gợi ý nhỏ của các bài sau:

$\boxed{1}$ $f(x)=0 , f(x)=2 , f(x)=x$

Gợi ý: Đặt f(1)=a , sau đó các bạn cố gắng tính giá trị của $a$ bằng các phép thế. Rồi chia trường hợp và giải.

$\boxed{2}$ $f(x)=x$ , $f(x)=-x$

Gợi ý: Bài này dễ ở chỗ các bạn chỉ cần thế thôi là sẽ có đáp án. Tuy nhiên nó chưa phải là đáp án cuối cùng của bài toán nên cần lập luận một chút để khẳng dịnh hai phương trình hàm trên thỏa.

$\boxed{3}$ $f(x)= \frac{1}{mx +c}$ ($m,c$ là các hằng số)

Gợi ý: Phần đầu của bài này tương đối dễ khi các bạn có thể dễ dàng đặt sao cho đưa về dạng phương trình hàm Jensen:

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$. Tuy nhiên phần sau lại không dễ vì bạn phải giải phương trình hàm Jensen trên tập $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$