Đến nội dung

pcoVietnam02

pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Offline Đăng nhập: 27-01-2024 - 17:19
****-

#724818 [TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 01-04-2021 - 17:09

Xin chào, mình là pcoVIetnam02 . Có một số bạn đã biết, mình từng làm một chuyên đề phương trình hàm trên tập rời rạc nhưng sau đó vì diễn đàn bảo trì nên topic cũng không cánh mà bay. Và vì các bạn cũng bắt đầu thi Olympic 30/4 rồi nên mình sẽ làm luôn một chuyên đề về phương trình hàm trên tập số thực với khá là nhiều cách giải khác nhau để các bạn có thể trang bị cho kì thì VMO sắp tới. Yêu cầu rất đơn giản:

$1)$ Tích cực tham gia, bàn luận và giải các bài toán mình đưa ra (tất nhiên sẽ có bài dễ nhưng mà lâu lâu thôi, vì sắp thì VMO rồi nên mình sẽ coi như các bạn đã biết được cơ bản của phương trình hàm).

$2)$ Ủng hộ các bạn đưa ra cách làm của bài đó, phương pháp, trình bày rõ ràng mạch lạc.

$3)$ Nếu muốn gửi bài tập cho các bạn khác cùng làm nhớ ghi số thứ tự (sau số của bài cuối cùng được đăng), đăng khoảng từ 1-5 bài và nếu không ai giải được (mình sẽ cố gắng giải cho các bạn) thì người đăng phải gửi lời giải của bài đó. 

Mong các bạn sẽ hưởng ứng vì chuyên đề này không mấy ai quan tâm, thêm cả việc không quá nhiều người học THPT ở group này nên cũng khó khăn cho mình. Nhưng vì đam mê thì làm thôi chứ biết sao :)  

 

Sau đây là những bài tập đầu tiên (lấy lại từ những bài trước mình đã làm): 

$\boxed{1}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$ , $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{3}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ , $\forall x,y\in \mathbb{R^+}$




#724815 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 01-04-2021 - 16:05

Bài 89: Tìm n nguyên dương và các số nguyên tố $p_{1};p_{2};...;p_{n}$ thỏa $(p_{1}-1)^{2}(p_{2}-1)^{2}...(p_{n}-1)^{2}\mid (p_{1}p_{2}...p_{n})^{2}+1$

 

$+TH_{1}$: $n=1$

Nếu $p = 2 \Rightarrow 1|2^2+1$ (đúng)

Nếu $ p\geq 3 \Rightarrow$ $VT \vdots 4$ , $VP \vdots 2$ , nhưng lại không chia hết cho 4 nên vô lý

$+TH_{2}$: $n \geq 2$

Nếu chứa $p_{i} = 2$ thì $VT$ chẵn , $VP$ lẻ nên vô lí

Nếu $p_{i}$ lẻ thì $VT \vdots 2^n$ mà $n\geq 2$ $VT \vdots 4$, còn $VP$ chia 4 dư 1,3 nên cũng vô lí

Vì vậy chỉ có 1 đáp án duy nhất là $n =1$ , $p=2$




#724803 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 31-03-2021 - 23:29

Bài 88: a) Tìm x;y;z nguyên sao cho $x+y+z=xyz$            

 

Bài này dễ nên mình gửi luôn bài mình đã làm từ lâu ở AoPS

 

About equation $x+y+z=xyz$ we can solve in this way.

WLOG, assume that $1 \leq x \leq y \leq z$ 
Thus, $xyz =x+y+z \leq 3z$ 
Divide both sides by $z \Rightarrow xy \leq 3$ 
$\Rightarrow xy \in$ {$1;2;3$}
$+)$ $xy =1$, we have $x=1, y=1$. Plugging in (1) we have $2+z = z$, which is unreasonable.
$+)$ $xy=2$, we have $x=1, y=2$ . Plugging in (1) we have $z=3$
$+)$ $xy=3$, we have $x=1, y=3$. Plugging in (1) we have $z=2$, which leads to a contradiction that $y \leq z$
Therefore $(x,y,z)$ = $(1;2;3)$ and its permutations.



#724802 $f(f(x)-y)=f(x^{2})+f(y)-2yf(x), \forall x,y\in...

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 31-03-2021 - 22:49

Gợi ý: 

Gọi $P(x,y)$ là các phép thế của phương trình hàm trên

$P(1;1) \Rightarrow f(f(1)-1)=0$

$P(1; f(1)-1) \Rightarrow f(1)(f(1)-1)=0$ 

Chỗ này vì sao lại đặt $y=f(1)-1$ là vì mình muốn triệt tiêu cái $f(f(x)-y)$ và $f(x^2)$ đi vì nó khá là vướng thì để làm vậy ta cần

$f(x)-y=x^2 \Rightarrow y=f(x)-x^2$ , cho $x=1$ thì được phép thế trên. Mình đặt bằng 1 vì mình cần đưa về hệ thức $f(1)$ để làm việc cho dễ vì có đk $f(1)>0$ và quả thực ta có biểu thức như trên và ta suy ra $f(1)=1$ .

$P(1;0) \Rightarrow f(0)=0$

$P(0,x) \Rightarrow f(-x)=f(x)$ là một hàm chẵn

$P(1,x) \Rightarrow f(x-1)=1-2y+f(x)$ (1)

Từ (1) và $f(0)=0$ , $f(1)=1$ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n^2$, $\forall n \in \mathbb{N}$

Hint: $f(k+1) = f(k)+2(k+1)-1 = k^2+2k+1 = (k+1)^2$

Hơn nữa ta lạ có $f$ là một hàm chẵn nên $f(x)=x^2$ , $\forall x \in \mathbb{Z}$

Thử lại thấy đúng




#724798 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi pcoVietnam02 trong 31-03-2021 - 21:56

1. Họ tên: Nguyễn Phi Long

2. Sinh năm: 03/06/2005

3. Nghề nghiệp: Học sinh lớp 10 Toán THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa

4. Địa chỉ Mail/ Số điện thoại liên lạc (nếu có): [email protected] / 0772428926

5. Nick trên Diễn đàn: pcoVietnam02 

6. Vị trí muốn đăng kí: Biên tập viên

7. Ý kiến thêm: Acc cũ của em bị xóa và không phục hồi lại được nên em chuyển sang nick này. Em thấy các bạn có nhu cầu kiếm những tài liệu về phương trình hàm số học, tổ hợp v.v. thì em xin đăng kí vào chức vụ này vì em từng là 1 moderator của AoPS nên cũng có nhiều kinh nghiệm và nhiều chuyên đề hay muốn cho các bạn. Em muốn giúp diễn đàn phát triển và thực hiện mong mỏi của em là giải được hết các bài toán trên diễn đàn này để mọi người coi đây là một diễn đàn bổ ích và tin cậy.