Đến nội dung


pcoVietnam02

Đăng ký: 31-03-2021
Online Đăng nhập: Hôm nay, 22:03
*****

Chủ đề của tôi gửi

Đề thi IMO 2021

21-07-2021 - 06:47

Đề thi IMO 2021 (Bản tiếng Việt)
 
Ngày thứ nhất:
Câu 1: Cho $n\geq 100$. Toshi viết mỗi số $n,n+1,n+2,...,2n$ lên một thẻ khác nhau. Anh ta tráo $n+1$ tấm thẻ này và chia làm 2 phần. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phần có chứa 2 tấm thẻ với tổng của hai số trên đó là một số chính phương.
 
Câu 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,...,x_n$.
 
Câu 3: Cho điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao $\angle DAB = \angle CAD$. $E$ nằm trên đoạn thẳng$AC$ sao cho $\angle ADE=\angle BCD$, điểm F nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\angle FDA=\angle DBC$ và điểm $X$ nằm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BX=CX$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, $EXD$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,EF$ và $O_1O_2$ đồng quy.
 
Ngày thứ 2:
Câu 4: Cho đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$, và tứ giác lồi $ABCD$ sao cho mỗi đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Tia $BA$ cắt $\Omega$ tại $X$ (không thuộc đoạn thẳng $BA$), tia $BC$ cắt $\Omega$ tại $Z$ (không thuộc đoạn thẳng $BC$). Tia $AD$ và $CD$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ (không thuộc đoạn thẳng $AD$) và $T$ (không thuộc đoạn thẳng $CD$). Chứng minh rằng: $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$
 
Câu 5: Hai chú sóc, Grace và Jumpy, đi nhặt $2021$ hạt dẻ cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt dẻ từ $1$ đến $2021$, và đào $2021$ cái lỗ nhỏ theo hình vòng tròn quanh một gốc cây yêu thích của nạn. Sáng hôm sau, Jumpy phát hiện ra rằng Grace đã bỏ mỗi lỗ nhỏ một hạt dẻ nhưng không để ý đến các số ghi trên các hạt dẻ. Jumpy quyết định sắp xếp lại các hạt dẻ bằng cách thực hiện một dãy gồm $2021$ bước. Trong bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ ở ngay bên cạnh của hạt dẻ được đánh số $k$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $k$ sao cho ở bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ được đánh số $a$ và $b$ với $a<k<b$.
 
Câu 6: Cho $m\geq 2$ là một số nguyên. $A$ là một tập hợp hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết dương), và $B_1,B_2,B_3,...,B_m$ là các tập con của $A$. Giả sử với mỗi số $k=1,2,...,m$, tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$. Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $m/2$ phần tử.

Đề thi Intercontinental Mathematics Tournament

20-04-2021 - 22:14

Hôm nay mình xin gửi các bạn một đề thi khá hay, được ra đề bởi hội đồng Iran, đề bài được ra bởi một số giáo sư nổi tiếng như Mohammad Ahmadi, Amir Hossein Parvardi, Mohammad Gharakhani. Năm nay kì thi được tổ chức lần đầu tiên ở diễn đàn AoPS, với sự tham gia của một số bạn trong VMF như KietLW9, ChiMiwhh, DaiphongLT, Syndycate, nehess, Hoang72, Mr handsome, pcoVietnam02, và 94 thí sinh khác từ rất nhiều quốc gia trên thế giới. Cuộc thi mang tính cọ xát nhiều hơn là thi đấu nhưng nhìn chung đề được thiết kế tương đối hay, phù hợp với các bạn THPT. Sau đây là đề thi IMT đánh bằng LaTeX (tái bản lần thứ 2 bởi oVlad, dịch bởi pcoVietnam02):

 

 
Ngày một (Đại số):
 
P1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực dương  $x,y$ và $z$ sao cho $x+f(y)$ và $x+f(z) +f(x+f(y))$ dương, ta có được điều sau:
 
$$f(x+f(z) +f(x+f(y)))+y+f(z)=0.$$
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
P2. Ramtin và Parsa chơi một trò chơi với đa thức sau
$$P(x)=\square \ x^4+\square \ x^3 +\square \ x^2 +\square \ x+\square\ .$$
Mỗi người sẽ lần lượt điền vào các hệ số thực bất kì (bắt đầu từ hệ số cao nhất). Parsa dự đoán rằng sau khi trò chơi kết thúc thì đa thức trên sẽ có 4 nghiệm thực hoặc không có nghiệm nào. Ramtin cần phải ngăn Parsa thắng. Nếu Ramtin đi trước thì chiến lược của ai sẽ thắng?
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
P3.1 Cho $x,y$ and $z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}=\frac{1}{8}.$$
Chứng minh rằng: 
$$\sqrt[3] {3(x+y+z)} \geq \sqrt[3] {x-\frac{16}{x^3}}+\sqrt[3] {y-\frac{16}{y^3}}+\sqrt[3] {z-\frac{16}{z^3}}.$$
 
Proposed by Amir Hossein Parvardi.
 
P3.2 Tìm hằng số thực $x$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau đúng với mọi $a, b, c$ thực: 
\[\sum_{cyc} \sqrt \frac{a^2+b^2}{2}+x\sum_{cyc} \sqrt{ab} \geq (1+x)(\sum_{cyc} a).\]
 
Proposed by Mohammad Ahmadi
 
 
 
Ngày hai: (Số học)
 
P1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ thỏa mãn
$$m^2+n^2 \mid f(n)^{\varphi (m)} +f(m)^{\varphi (n)}.$$
($\varphi (n)$ là phi hàm Euler.)
 
Proposed by Mohammad Gharakhani
 
P2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
\[p^2+1 \mid 2021^q+17^q\text{ và }q^2+1 \mid 2021^p+17^p.\]
 
Proposed by @Hopeooooo
 
P3. Có vô số số $n \in \mathbb N$ thỏa mãn $6n^4+27n^3+51n^2+48n+18$ mà tồn tại ước nguyên tố lớn hơn \[\sqrt{4n^2+11n+99+4n\sqrt{2n+1}}?\]
 
Proposed by @Hopeooooo

Công sai $d$ chia hết cho mỗi số nguyên tố $q < n$

16-04-2021 - 18:34

Chứng minh rằng nếu tất cả $n > 2$ số hạng của dãy cấp số cộng $$p, p+d, p+2d,\ldots,p+(n-1)d$$ là số nguyên tố, thì công sai $d$ chia hết cho mỗi số nguyên tố $q < n$.

 

[MARATHON] Chuyên đề Bất đẳng thức

05-04-2021 - 22:32

Xin chào, mình là pcoVienam02. Như các bạn có thể thấy thì hiện tại trên Diễn đàn đang có nhiều TOPIC, nhưng mà nó có thể làm các bạn học hơi khô khan. Nên mình sẽ cải biến TOPIC thành một loại mới, chính là Marathon.

Vậy Marathon là gì?

Marathon (mình sẽ lấy format từ diễn đàn mình đang làm việc - AoPS), gồm 2 thể loại chính:

Marathon loại 1 tức là người đăng chủ đề sẽ gửi bài toán đầu tiên (bài toán gốc). Người nào giải được bài toán gốc sẽ tiếp tục đưa ra câu hỏi thứ hai để những người giải được sau đó sẽ đưa ra câu hỏi tiếp theo, và cứ liên tục như thế.

Marathon loại 2 là người đăng chủ đề sẽ là người chấm điểm, và có nhiệm vụ gửi các bài toán theo thứ tự (mỗi lần 1 bài), ai giải được sẽ được 1 điểm (người giải sớm nhất). Nếu ai giải sai mà có người chỉ được điểm sai sót trước khi người đăng đáp án bài đó nhận ra sẽ được 0,5đ. Sau một số hữu hạn bài (thường là 100-200 bài) thì ai có số điểm cao hơn thì sẽ chiến thắng. 

Thì loại 1 chỉ mang tính chất học hỏi và cũng có khá nhiều rủi ro vì nếu có người gửi bài quá khó thì Marathon coi như chấm dứt. Vì vậy dựa trên tình hình diễn đàn thì mình sẽ tổ chức Marathon loại 2 cho các bạn vì mục đích vừa học hỏi vừa có sự thi đua giữa các bạn của 3 miền Tổ Quốc. 

 

*Lưu ý: Thời hạn giải mỗi bài là 2 ngày. 

Để khai mạc kì Marathon phiên bản mới mình sẽ 'khui' bài tập đầu tiên (khá dễ):

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa

$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1$
Chứng minh rằng:  $abc \leq \frac{1}{8}$
 
============

Bảng điểm:* (Update lần 7)

Hoang72: 5 điểm

KietLW9: 2 điểm

yungazier: 1 điểm  

ChiMiwhh: 1 điểm

 

*Bảng điểm và người làm bài gần nhất sẽ được update sớm


[TOPIC] Phương trình hàm $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

01-04-2021 - 17:09

Xin chào, mình là pcoVIetnam02 . Có một số bạn đã biết, mình từng làm một chuyên đề phương trình hàm trên tập rời rạc nhưng sau đó vì diễn đàn bảo trì nên topic cũng không cánh mà bay. Và vì các bạn cũng bắt đầu thi Olympic 30/4 rồi nên mình sẽ làm luôn một chuyên đề về phương trình hàm trên tập số thực với khá là nhiều cách giải khác nhau để các bạn có thể trang bị cho kì thì VMO sắp tới. Yêu cầu rất đơn giản:

$1)$ Tích cực tham gia, bàn luận và giải các bài toán mình đưa ra (tất nhiên sẽ có bài dễ nhưng mà lâu lâu thôi, vì sắp thì VMO rồi nên mình sẽ coi như các bạn đã biết được cơ bản của phương trình hàm).

$2)$ Ủng hộ các bạn đưa ra cách làm của bài đó, phương pháp, trình bày rõ ràng mạch lạc.

$3)$ Nếu muốn gửi bài tập cho các bạn khác cùng làm nhớ ghi số thứ tự (sau số của bài cuối cùng được đăng), đăng khoảng từ 1-5 bài và nếu không ai giải được (mình sẽ cố gắng giải cho các bạn) thì người đăng phải gửi lời giải của bài đó. 

Mong các bạn sẽ hưởng ứng vì chuyên đề này không mấy ai quan tâm, thêm cả việc không quá nhiều người học THPT ở group này nên cũng khó khăn cho mình. Nhưng vì đam mê thì làm thôi chứ biết sao :)  

 

Sau đây là những bài tập đầu tiên (lấy lại từ những bài trước mình đã làm): 

$\boxed{1}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$ , $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$\boxed{3}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ , $\forall x,y\in \mathbb{R^+}$