Nobodyv3

Từ $9$ chữ số  $\{ 1; 2 ; 3;...; 9 \}$ liệu có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $15$ chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây:

- $2$ chữ số $1$ và $2$ mỗi chữ số xuất hiện đúng $5$ lần.
- Các chữ số còn lại xuất hiện không quá $1$ lần.
- Các chữ số lớn hơn $2$ không có $2$ số nào đứng cạnh nhau.

Welcome back.
Lúc này không post các bài functional equations nữa hả anh?
======
Xếp các chữ số 1 và 2: $\frac{10!}{5!5!}$
Chọn 5 chữ số còn lại và xếp chúng vào 11 khoảng trống : $C_7^5\cdot A_{11}^5$
Số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac{10!}{5!5!}\cdot C_7^5\cdot A_{11}^5=293388480$

1/ Áp dụng nguyên lý bù trừ :
$$\begin {align*}
2^{C_6^2}-C_6^1\cdot 2^{C_5^2}+C_6^2\cdot 2^{C_4^2}-C_6^3\cdot 2^{C_3^2}\\+C_6^4\cdot 2^{C_2^2}-C_6^5\cdot 2^{C_1^2}+C_6^6\cdot 2^{C_0^2}\\
=
2^{15}-6\cdot 2^{10}+15\cdot 2^6-20\cdot 2^3\\+15\cdot 2^1-6\cdot 2^0+1\cdot 2^0=\boldsymbol {27449}
\end{align*}$$

1/ Một xã ở vùng quê có 6 thôn. Chính quyền địa phương muổn xây dựng 1 hệ thống đường giao thông 2 chiều  nối 6 thôn này. Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hệ thống đường sá trên sao cho không có thôn nào bị cô lập.
2/ Gieo cặp xúc xắc khác nhau ( một xanh, một đỏ) 6 lần, biết rằng các cặp số không xuất hiện là: (1,2),(2,1),(2,5),(3,4), (4,1), (4,5) và (6,6). Hỏi xác suất sau 6 lần gieo mà mỗi xúc xắc xuất hiện đầy đủ các mặt của chúng. Thí dụ :(1,1),(2,3),(4,4),(3,2),(5,6),(6,5) là một kết quả thỏa mãn.

Có 6 chiếc ghế được xếp thành 1 hàng ngang. Số cách xếp 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế sao cho mỗi học sinh ngồi 1 ghế và học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B là:

A. 120 B.720 C.144 D.216

You're right. The answer is E. None of these

Có bao nhiêu cách bỏ $k$ viên bi khác nhau vào $q$ hộp khác nhau sao cho có đúng $r$ hộp có đúng 1 viên bi tức là có đúng $r$ hộp có đúng 1 viên bi và $q-r$ hộp còn lại chứa ít nhất $2$ viên bi hoặc không có viên bi nào?

Wow, "super khủng"!

Ta có :
$$\begin{align*}
[x^n]&(1-x)^{-10}(1-x^{11})^{10}\\
&=[x^n]\sum_{k=0}^\infty\binom{k+9}{k}x^k\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{k+9}{k}[x^{n-k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n-k+9}{n-k}[x^{k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor}\binom{n-11k+9}{n-11k}[x^{11k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\min\{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor,10\}}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k\\
\end{align*}$$Do $\binom{s}{r}=0 $ nếu  $r>s$ nên biểu thức cuối có thể viết gọn lại:
$\boldsymbol {\sum_{k\geq0}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k}$
- Kết quả trùng khớp Thầy ạ.

Tính số nghiệm nguyên của :
$x_1+x_2+...+ x_9+x_{10}=n $
biết rằng $0\leq x_i\leq 10,\; n>0$

Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$

$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$

Nice result. You're truly amazing!

Help me, please!
Đã 3 ngày rùi không ai giúp mình cả .Thế thì cố gắng thui!
Theo đề bài ta có phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x_1+2x_2+3x_3+6x_4 &=6n \\
x_i :\text { nguyên,không âm}&
\end{matrix}\right.$$ có hàm sinh là :
$$\begin {align*}
G(x)&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^6)}\\
&=\frac{(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^2+x^4)(1+x^3)}{(1-x^6)^4}\\
\Rightarrow \left [ x^{6n} \right ]G(x)&=\left [ x^{6n} \right ]\left ( 1+4x^6+x^{12} \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^{6k}\\
&=\boldsymbol {\binom{n+3}{3}\left [ \left [ n\geq 0 \right ] \right ]+4\binom{n+2}{3}\left [ \left [ n\geq 1 \right ] \right ]+\binom{n+1}{3}\left [ \left [ n\geq 2 \right ] \right ]}
\end {align*}$$Trong đó :
$$\left [ \left [ P \right ] \right ]=
\begin{cases}
1, &\text{nếu $P$ đúng;}\\
0, &\text{ngược lại.}
\end{cases}$$

Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau, không chứa số 0 và số 9 đồng thời chia hết cho 11 và 101.

Theo gợi ý của thầy Thanh ta có :
Qui tắc chia hết cho 1111: Nếu tổng của các nhóm 4 chữ số của số A chia hết cho 1111 thì số A chia hết cho 1111.
Như vậy, một số thỏa đề bài sẽ có 2 nhóm 4 chữ số và có tổng là $9999$.
Xét các cặp chữ số: $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$:
Số hoán vị các cặp chữ số ở trong nhóm :$4!$
Số hoán vị 2 chữ số :$2^4$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$4!\cdot 2^4=\boldsymbol {384}$

Bài khó phết! Hic, cố gắng lắm thì chỉ thỏa điều kiện 1...

Và đây là một cách tiếp cận khác:
Ta xem mỗi dãy số tăng không nghiêm ngặt tương đương với một véc tơ ghi số lần xuất hiện các mặt của con xúc xắc. Chẳng hạn như dãy số $\left \{ 1,2,2,2,3,4,5,5,6,6 \right \}$ tương ứng với véc tơ $\left \langle 1,3,1,1,2,2 \right \rangle$. Sự tương ứng này là duy nhất, hay nói cách khác, ánh xạ từ tập các dãy số đến tập các véc tơ là song ánh. Do đó, kết quả bài toán đã cho cũng chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_6=10$ và bằng $\boldsymbol {C_{15}^5=3003}$.

Gieo 1 con xúc xắc 10 lần. Các số xuất hiện tạo thành dãy số, hỏi có bao nhiêu dãy số tăng không nghiêm ngặt?