Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Nobodyv3

Đăng ký: 02-04-2021
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#736122 xác suất để tích các số xuất hiện trên n con xúc xắc là một số chính phương.

Gửi bởi Nobodyv3 trong Hôm qua, 15:14

1/ Từ gợi ý trên ta xét 2 trường hợp :
a) $ d_2,d_3,d_6$ đều chẵn : ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
C(x)&=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+... \right )^2\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \right )^4\\
&=e^{2x}\left ( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )^4\\
&=\frac{1}{16}\left ( e^{6x}+4e^{4x}+6e^{2x}+e^{-2x}+4 \right )
\end{align*}$
b) $ d_2,d_3,d_6$ đều lẻ : ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
L(x)&=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+... \right )^2\left ( x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... \right )^3\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \right )\\
&=e^{2x}\left ( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right )^3\left ( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )\\
&=\frac{1}{16}\left ( e^{6x}-2e^{4x}-e^{-2x}+2 \right )
\end{align*}$
Suy ra :
$\begin {align*}
C(x)+L(x)&=\frac{1}{16}\left ( 2e^{6x}+2e^{4x}+6e^{2x}+6\right )\\
&=\frac{1}{8}\left ( e^{6x}+e^{4x}+3e^{2x}+3\right)\\
& =\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty }\left(6^{n}+4^{n}+3\cdot2^{n}\right )\frac {x^n}{n!}+\frac{3}{8}
\end {align*}$
Do đó xác suất cần tìm là $\boldsymbol {\frac{6^{n}+4^{n}+3\cdot2^{n}}{8\cdot6^n}\quad \text{; với $ n\geq 1.$}}$


#736091 Có 4 hộp đựng bi lần lượt có sức chứa 3,5,7,8 bi

Gửi bởi Nobodyv3 trong 06-12-2022 - 17:57

2/ Ý em là 3 người mà trong đó 2 người đôi một cách nhau ạ.

1/ Thế thì em làm casework :
- Hộp 3 (là hộp có sức chứa 3 bi) trống : thì trong 3 hộp kia sẽ có 1 hộp không đầy $ \longrightarrow 3$ cách.
- Hộp 3 có 1 bi: nếu thêm 2 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow $ số cách thêm 2 bi vào 3 hộp :$C_{2+3-1}^{3-1}=6$ cách
- Hộp 3 có 2 bi: nếu thêm 3 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow$ số cách thêm 3 bi vào 3 hộp :$C_{3+3-1}^{3-1}=10$ cách
- Hộp 3 có 3 bi: nếu thêm 4 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow $ số cách thêm 4 bi vào 3 hộp :$C_{4+3-1}^{3-1}=15$ cách
Vậy số cách bỏ bi thỏa yêu cầu là :
$3+6+10+15=34$ cách.


#736078 Xác suất để xe khách này đậu được trong bãi xe

Gửi bởi Nobodyv3 trong 05-12-2022 - 20:44

1/ Một cách lập luận khác :
TH1: 3 chỗ trống kề nhau : ghép lại thành một "chỗ đậu lớn" :$\frac {10!}{9!}=10$ cách đậu xe
TH2: giữa 3 chỗ trống (được phân làm hai) có ít nhất 1 chỗ đã có xe đậu: ta loại chỗ có xe đậu này đi thì ta có $\frac {(2+8)!}{8!}=90$ cách đậu xe
Vậy XS cần tìm là :
$\frac {10+90}{C_{12}^{9}}=\frac {5}{11}$
2/ Cách khác : dùng hàm sinh.
Hàm sinh cho số cách chọn bi đỏ : $2x+x^2$
Hàm sinh cho số cách chọn bi xanh : $3x+3x^2+x^3$
Hàm sinh cho số cách chọn bi vàng : $4x+6x^2+4x^3+x^4$
Vậy ta có :
$f(x)=(2x+x^2)(3x+3x^2+x^3)(4x+6x^2+4x^3+x^4)=(6x^2+9x^3+5x^4+x^5)( 4x+6x^2+4x^3+x^4) $
Xét các hệ số của số hạng chứa $x^3,x^4,x^5,x^6$ trong khai triển của $f(x)$:
$(4.6)x^3+(9.4+6.6)x^4+(6.4+9.6+5.4)x^5+(6.1+9.4+5.6+1.4)x^6$
$\Longrightarrow 24+72+98+76= 270$
3/ Cách lập luận khác :
Giả sử ta có 2 cuốn sách giống hệt nhau dùng làm vách ngăn.
Số cách xếp 11 cuốn sách và 2 vách ngăn là :
$\frac {13!}{2!}$
Số cách xếp 11 cuốn sách sao cho có 2 ngăn trống là :
$3.11!$
Số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$\frac {13!}{2!}-3.11!=(\frac {1}{2}.13.12-3)11!=75.11!$


#736070 Xác suất để xe khách này đậu được trong bãi xe

Gửi bởi Nobodyv3 trong 05-12-2022 - 13:40

1/ Một bãi đậu xe có một hàng 12 chỗ đậu liền kề nhau. Hiện có 9 xe con đậu trong bãi. Sau đó có 1 xe khách đến. Hỏi xác suất để xe khách này đậu được trong bãi biết rằng mỗi chỗ chỉ đậu được 1 xe con và xe khách cần 2 chỗ đậu trống kề nhau.
2/ Hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi xanh , 4 bi vàng, tất cả đều khác nhau đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn 3,4,5,6 bi sao cho các bi ở mỗi cách chọn có đủ 3 màu.
3/ Có bao nhiêu cách xếp 11 cuốn sách khác nhau vào kệ sách có 3 ngăn sao cho nhiều nhất là 1 ngăn trống.


#736016 Tính $a_{2009}$

Gửi bởi Nobodyv3 trong 02-12-2022 - 23:39

1/ Ớ chu kỳ ngắn ta loại 6 số $ \rightarrow $ ở chu kỳ dài ta loại $6\cdot5-6=24$ số (do ta phải phục hồi lại 6 số : 15,20,30,40,45,60). Như vậy, ở chu kỳ dài ta giữ 36 số và loại 24 số.
Ta lại thấy : $2009=55\times 36+29,$ cho nên phải đến chu kỳ thứ 56 mới đến số thứ 2009. Từ $a_{56\cdot36}=a_{2016}=56\cdot60=3360,$ ta đếm ngược lại 7 vị trí thì được $\boldsymbol {a_{2009}=3347}$
2/ Lời giải đẹp!
XS: $1-\prod_{k=1}^{9}\frac{365^2-k}{365^2}=1-\frac{\left ( 365^2-1 \right )!}{365^{18}\left ( 365^2-10\right )! }\approx 0,0003377$
Edited.


#735999 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi Nobodyv3 trong 02-12-2022 - 12:39

Mình dùng WolframAlpha và ra kết quả là $260280$.

Em cũng dùng WA nhưng kết quả là 263604. Link đây anh:
https://www.wolframa... dx , x=0 to oo


#735996 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi Nobodyv3 trong 02-12-2022 - 12:01

Em tính trên mạng các trang online integral calculator.


#735994 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi Nobodyv3 trong 02-12-2022 - 10:15

Các đa thức đều giống nhau nhưng khi lấy tích phân thì kết quả khác anh! I wonder why...


#735985 Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

Gửi bởi Nobodyv3 trong 01-12-2022 - 20:15

Sử dụng đa thức Laguerre : $n_1=6$ ; $n_2=5$ ; $n_3=4$ ; $m_1=m_2=m_3=3$
$p_{3,6}(t)=\left [ x^6 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t$
$p_{3,5}(t)=\left [ x^5 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2$
$p_{3,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^4}{24}-t^2+t$
Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2 \right )\left ( \frac{t^4}{4}-t^2+t \right )dt=260280$.

Anh nhầm ở ngoặc cuối cùng trong dấu tích phân phải là $\left( \frac {t^4}{24}-t^2+t\right). $


#735958 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

Gửi bởi Nobodyv3 trong 29-11-2022 - 23:29

3/ Ta xét các trường hợp lấy lần lượt từ 1 đến 6 viên mà không có 2 viên bi đỏ liên tiếp:
- Không có bi đỏ : XS là : $\frac {8}{18}\cdot\frac {7}{17}\cdot\frac {6}{16}\cdot\frac {5}{15}\cdot\frac {4}{14}\cdot\frac {3}{13}$
- Có một bi đỏ : XS là : $C_{6}^{1}\cdot \frac {10}{18}\cdot\frac {8}{17}\cdot\frac {7}{16}\cdot\frac {6}{15}\cdot\frac {5}{14}\cdot\frac {4}{13}$
- Có hai bi đỏ : XS là : $C_{5}^{2}\cdot \frac {10}{18}\cdot\frac {8}{17}\cdot\frac {9}{16}\cdot\frac {7}{15}\cdot\frac {6}{14}\cdot\frac {5}{13}$
- Có ba bi đỏ : XS là : $C_{4}^{3}\frac {10}{18}\cdot\frac {8}{17}\cdot\frac {9}{16}\cdot\frac {7}{15}\cdot\frac {8}{14}\cdot\frac {6}{13}$
Cộng các giá trị XS trên ta được :$\frac{2903040}{13366080}\approx 0,2172$
Do đó XS cần tìm là :
$1-0,2172\approx \boldsymbol {78,28\%}$


#735955 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số

Gửi bởi Nobodyv3 trong 29-11-2022 - 17:42

2/ Khà, khà...Vậy thì em tính theo case by case nhé:
Tổng lớn nhất là 18, tổng nhỏ nhất là 3 nên trung bình là $3\cdot3\frac{1}{2}=10\frac{1}{2}.$
Ta thấy $p(10)=p(11)$ và $\sum_{k=11}^{18}p(k)=\frac {1}{2}$ do đó :
$\sum_{k=10}^{15}p(k)=\frac {1}{2}+p(10)-p(16)-p(17)-p(18)$
- Tổng là 10: 6+3+1 có $3! $ khả năng, 6+2+2 có $3$ khả năng, 5+4+1 có $3! $ khả năng, 5+3+2 có $3! $ khả năng, 4+4+2 có $3$ khả năng, 4+3+3 có $3! $ khả năng $\rightarrow 27$ khả năng.
- Tổng là 16: 6+6+4 có $3$ khả năng, 6+5+5 có $3 $ khả năng $\rightarrow 6$ khả năng.
- Tổng là 17: 6+6+5 có $3$ khả năng.
- Tổng là 18: 6+6+6 có $1 $ khả năng.
Do đó XS cần tìm là :
$\frac {108+27-6-3-1}{216}=\boldsymbol {\frac {125}{216}}$

3/ Hì, hì...để nghĩ xem tính kiểu khác được không...


#735915 Hỏi xác suất để số này chia hết cho 11

Gửi bởi Nobodyv3 trong 26-11-2022 - 23:02

2/ Do 200 chia hết cho 8 nên ta thấy:
- Nếu 2 chữ số cuối thuộc tập $\left \{ 16,24,32,56,64,72 \right \}$ thì hàng trăm phải là chữ số chẵn với số cách chọn lần lượt là $(2,1,2,2,1,2)\rightarrow $ có $10$ cách.
- Nếu 2 chữ số cuối thuộc tập $\left \{ 12,36,52,76 \right \}$ thì hàng trăm phải là chữ số lẻ với số cách chọn lần lượt là $(3,3,3,3)\rightarrow $ có $12$ cách.
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$4!(10+12)=\boldsymbol {528}$ số.


#735913 Hỏi xác suất để số này chia hết cho 11

Gửi bởi Nobodyv3 trong 26-11-2022 - 21:48

Thật là bậc thầy về casework! Hic, em mà tính theo kiểu này thì lúc thừa lúc thiếu, hiếm khi tính đúng! Bởi vậy em phải né và đếm như sau :
1/ ...nhưng tránh vỏ dưa gặp vỏ dừa!
Các số có dạng $\overline{abcde}$ thì ta phải có $a+c+e\equiv b+d \pmod {11}$.
Tính số các số khi ta loại 1 chữ số :
- Bỏ chữ số $0$: được $5!$ số
- Bỏ các chữ số khác : được $5.4.4!=4.5!$ số
Vậy : $|\Omega|=5!+4.5!=600$.
Ta đếm các số chia hết cho 11:
$0+1, 3+4+5\rightarrow 2!3!=12$ số
$1+4, 0+2+3\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
$1+5, 0+2+4\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
$2+3, 0+1+4\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
$2+4, 0+1+5\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
$2+5, 0+3+4\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
$3+4, 0+2+5\rightarrow 2!(3!-2!)=8$ số
Tất cả có $12+8.6=60$ số
Do đó XS cần tìm là $\boldsymbol {\frac {1}{10}}$


#735897 Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất

Gửi bởi Nobodyv3 trong 25-11-2022 - 23:42

Bạn thử nghĩ bài toán này xem : Có 10 quả cam được bỏ ngẫu nhiên vào 10 cái hộp được đánh số thứ tự. Biết rằng có thể có hộp không có cam và mỗi hộp chứa tối đa 3 quả. Tính xác suất không có hộp nào có 3 quả cam ?

XS là $8953/44803\approx 0,1998$


#735895 Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất

Gửi bởi Nobodyv3 trong 25-11-2022 - 23:13

------------------------------------------------------
Giả sử một lớp học có 3 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bây giờ nếu chia ngẫu nhiên cả lớp thành 10 nhóm (mỗi nhóm 3 bạn). Thử nghĩ xem khi đó xác suất không có nhóm nào gồm 3 bạn tổ 1 có cao không ? (Mình nghĩ rằng không cao lắm đâu)

Em nghĩ hơi khác một tí.