Đến nội dung


Nobodyv3

Đăng ký: 02-04-2021
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#732476 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 17-01-2022 - 09:33

7/ Tính số nghiệm nguyên không âm của pt: $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=40$
với $2\leq x_{1}\leq 8, x_{2}\leq 4, x_{3}\geq 4, x_{4}\leq 5$


#732474 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 16-01-2022 - 21:03

@Hoang72:exact ans.
Bài nữa nhé.
5/ Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ thua 1000000,có tổng chữ số bằng 19 ?


#732448 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 15-01-2022 - 18:25

2/ Có bao nhiêu cách chia n món đồ chơi khác nhau cho 3 bé A, B, và C sao cho :
- Bé A:được một số lẻ món.
- Bé B:được nhiều nhất 3 món.
- Bé C:bao nhiêu món cũng được (kể cả không được món nào).


#732435 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 14-01-2022 - 09:19

@Serine: Cách casework có ưu điểm là trực quan, tự nhiên nhưng thường liệt kê thừa ( thiếu) các trường hợp cần xét. Thế thì có cách nào kiểm tra là ta đã xét đủ các trường hợp không? Có đấy!Cụ thể ở bài toán này ta thấy :
Mỗi cây viết còn lại có 3 khả năng (thuộc loại A, loại B,hoặc loại C) nên số khả năng cho 2 cây viết còn lại là : $3\times 3=9$, nhưng các TH :(A+B), (A+C), và (B+C) lặp lại 2 lần.
Vậy số TH cần xét là $9-3=6$ TH, đó là: 2A, 2B, A+B, A+C, B+C và 2C.


#732434 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 13-01-2022 - 22:07

Số cách lấy ra 8 cây viết mà mỗi lần chỉ lấy 1 cây bằng số cách xếp 8 cây viết trong hộp bút thành một hàng ngang có thứ tự

TH1: trong hộp còn 2 cây A: $8C1*7C3*4C4$ cách
TH2: trong hộp còn 2 cây B: $8C1*7C3*4C4$ cách
TH3: trong hộp còn 1A, 1B: $8C2*6C2*4C4$
TH4: trong hộp còn 1A, 1C: $8C2*6C3*3C3$
TH5: trong hộp còn 1B, 1C: $8C2*6C3*3C3$

Đáp số: $2*(8C1*7C3*4C4) + 8C2*6C2*4C4 + 2*(8C2*6C3*3C3)$

Tổng quát lên thì em chịu lun :botay

Một cách tiếp cận thông minh!
và bài giải sẽ hoàn hảo hơn nếu bạn để ý thêm tí xíu nữa: xét tiếp trường hợp còn lại 2 cây loại C.
và có cách giải khác ?


#732064 vmo bình định 2021-2022

Gửi bởi Nobodyv3 trong 16-12-2021 - 20:16

Bài 2:
Xét hàm sinh:$G\left ( x \right)=\left (x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6} \right )^{n}$, ta thấy $\left |A_{n} \right |$ chính là tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển $G\left ( x \right )$,mà các số hạng này có số mũ chia hết cho 3.
Gọi $\omega$ là căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì ta có $ 1+\omega +\omega^{2}=0$ và :
$ \left |A_{n} \right |=\frac{G\left ( 1 \right )+G\left ( \omega \right )+G\left ( \omega^{2} \right )}{3}=\frac{ 4^{n}+ \left ( 1+\omega+\omega^{2}+1\right )^n +\left ( 1+\omega^{2}+\omega+1\right )^n }{3}=\frac{4^{n}+2}{3}$
Vậy $\boxed {u_{n}=\frac{4^{n}+2}{3}}$
***********
Mình xin trao đổi tiếp :
1/ Để đơn giản hơn một chút, ta xét các phần tử của X theo modulo 3. Như vậy ta có hàm sinh :
$G\left ( x \right )=\left (2+ x+x^{2}\right )^{n}$
Vậy ta được :
$ \left |A_{n} \right |=\frac{G\left ( 1 \right )+G\left ( \omega \right )+G\left ( \omega^{2} \right )}{3}=\frac{ \left ( 2+1+1 \right )^{n}+ \left ( 2+\omega+\omega^{2}\right )^n  +\left (  2+\omega^{2}+\omega \right )^n  }{3}=\frac{4^{n}+2}{3}$

2/ Có bạn gửi cho mình lời giải như sau :
Gọi $A_{n},B_{n},C_{n}$ lần lượt  là các tập số tự nhiên có n chữ số lập từ X, có tổng chữ số chia cho 3 dư 0, dư 1, dư 2. Như vậy, dễ thấy rằng :
$\left |A_{n+1}  \right |=2\left | A_{n} \right | +   \left |B_{n}  \right |+ \left |C_{n}  \right | $
$\left |B_{n+1}  \right |=  \left |A_{n}  \right |+2\left | B_{n} \right |$
$\left |C_{n+1}  \right |= \left |A_{n}  \right | +2\left | C_{n} \right |$
Vế cộng vế:
$\left |A_{n+1}  \right |+
\left |B_{n+1}  \right |+\left |C_{n+1}  \right | =\left | A_{n} \right |+3\left ( \left |A_{n}  \right |+
\left |B_{n}  \right |+\left |C_{n}  \right | \right )$
$\Leftrightarrow 4^{n+1}=\left | A_{n} \right |+3.4^{n}\Leftrightarrow \left | A_{n} \right |=4^{n}$
Do đó $u_{n}=4^{n}$
Biết rằng đây là lời giải sai, nhưng không biết sai ở đâu nên nhờ các bạn chỉ ra chỗ sai của lời giải này.


#732022 Có tất cả bao nhiêu cách thực hiện hành trình để sau đúng 12 lần di chuyển, n...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 14-12-2021 - 18:51

Không biết chư vị có nhìn thấy sơ đồ không vậy?(Tại hạ mặc dù đã vận mười thành công lực nhưng vẫn không nhận ra bát quái trận đồ!). Bởi vậy, khá khen cho người trả lời vì đã luyện được tuyệt đỉnh công phu " Thiên lý nhãn " để hóa giải trận đồ này. Tại hạ xin bái phục.  


#731991 Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số lập được từ các chữ số 1;3;4;5;...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 12-12-2021 - 20:09

Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số lập được từ các chữ số
1;3;4;5;6;8;9. Tổng các phần tử của T bằng

Nhận xét : Xét các số thỏa đề bài, ta thấy mỗi chữ số xuất hiện $7^{5} $ lần ở các hàng đơn vị, hàng chục,..., hàng trăm ngàn.
Do đó, tổng các số thỏa đề bài (cũng là tổng các phần tử của T) là :
$\left ( 1+3+4+5+6+8+9 \right ).7^{5}.\left (10^{5} +10^{4}+10^{3}+10^{2}+10^{1}+10^{0} \right )=36.7^{5}.111111=67227932772$


#731882 Có bao nhiêu cách xếp phân biệt 1 viên gạch màu nâu, 1 viên gạch màu tím, 2 v...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 03-12-2021 - 23:45

$\frac{7!}{1!1!2!3!}=420$


#731849 Tính xác suất tam giác mà 3 đỉnh đó tạo thành là một tam giác nhọn

Gửi bởi Nobodyv3 trong 01-12-2021 - 16:07

Mình xin nói thêm khi tính số tam giác tù.
Ký hiệu các đỉnh là $A_{1},A_{2},...,A_{48}$. Xét đường chéo $A_{1}A_{25}$ của đa giác cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, nó chia đường tròn thành 2 nửa đường tròn. Mỗi nửa đường tròn có 23 đỉnh từ $A_{2}$ đến $A_{24}$ và từ $A_{26}$ đến $A_{48}$. Lúc này, mỗi tam giác $A_{1}A_{i}A_{j}$ là tam giác tù khi đỉnh $A_{i}, A_{j}$ cùng nằm trên 1 nửa đường tròn. Ta tiến hành đếm số tam giác tù :
- Chọn 1 đỉnh : có $48$ cách
- Chọn 1 nửa đường tròn : có $2$ cách
- Chọn 2 đỉnh $A_{i},A_{j}$: có $C_{23}^{2}$ cách.
Số tam giác tù là :
$ \frac{48\cdot2\cdot C_{23}^{2}}{2}=12144 $        $(*)$
Chú ý: Trong $(*)$ ta chia cho 2 vì đã đếm trùng lặp 2 lần!
T.dụ: - khi chọn đỉnh $A_{1}$: ta có tam giác $A_{1}A_{23}A_{24}$.
- khi chọn đỉnh $A_{24}$: ta có tam giác $A_{24}A_{23}A_{1}$.
Hai tam giác này là một, do đó ta đã đếm 2 lần (cho mỗi tam giác) cho nên để tính số tam giác tù ta phải chia cho 2 ở $(*)$.


#731783 Chứng minh công thức thể tích của hình chóp

Gửi bởi Nobodyv3 trong 26-11-2021 - 20:00

Xét hình chóp bất kỳ có đường cao h, đáy có diện tích S.
Ta cắt hình chóp này qua n lớp cách đều nhau và vuông góc với đường cao thì lớp thứ k có diện tích đáy là $\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S\Rightarrow  $ diện tích đáy ở mỗi lớp là : $\left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S, \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S, .....,\left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S$.
Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành  hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$. Do đó, thể tích V của hình chóp có thể tính gần đúng :
$V=\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S+ \left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S+...+\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S\left ( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} \right )=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S.\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}=\frac{hS}{6}\left ( 1+\frac{1}{n}\right ) \left ( 2+\frac{1}{n} \right ) $
Cho  $n\rightarrow \infty $ thì $\frac{1}{n}\rightarrow 0$, cho nên thể tích hình chóp sẽ là :
$ V=\frac{hS}{6}\left ( 1+0\right ) \left ( 2+0 \right )=\frac{hS}{3}$ $\text{    QED}$.


#731373 Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 29-10-2021 - 20:46

Cho m và n đều nguyên dương. Giả sử rằng phương trình $a_{1}x_{1}+...+a_{m}x_{m}=n$ với $a_{i}$ lớn hơn 0 và nguyên dương với mọi i chạy từ 1 đến m; có nghiệm không âm và đặt $A_{n}$ là số nguyên $(x_{1};...,x_{m})$ của phương trình. Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1}$ là $f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})};\left | x \right |< 1$

Yêu cầu của bài toán tương đương với yêu cầu lập hàm sinh tính số cách bỏ n viên bi giống nhau vào m hộp sao cho hộp thứ nhất có $a_{1}x_{1} $viên, hộp thứ hai có $a_{2}x_{2}$ viên,...., hộp thứ m có $a_{m}x_{m}$ viên. Ta thấy rằng: số bi trong hộp thứ i là một bội của $a_{i}$ từ đó ta có hàm sinh cho số cách bỏ bi vào hộp thứ nhất là :
$1+x^{a_{1}\cdot 1}+x^{a_{1}\cdot 2}+x^{a_{1}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{1}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{1}}}$
vào hộp thứ hai là:
$1+x^{a_{2}\cdot 1}+x^{a_{2}\cdot
2}+x^{a_{2}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{2}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{2}}}$
.
.
.
vào hộp thứ m là:
$1+x^{a_{m}\cdot 1}+x^{a_{m}\cdot 2}+x^{a_{m}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{m}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{m}}}$
Như vậy, theo qui tắc nhân, thì hàm sinh cho số cách bỏ n bi vào m hộp thỏa yêu cầu là :
$$f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})}$$ QED.


#731269 $P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 22-10-2021 - 22:13

P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v :mellow:

$$f^{2}\left ( x \right )\text{
vs }\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )^{2}
$$
Như mình được học lóm thì:
$f^{2}\left ( x \right )=\left ( f\circ f \right )\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )$
trong khi đó :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )$
Thí dụ :
Nếu $f\left ( x \right )=2x$ thi :
$f^{2}\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2\cdot 2x=4x$ và :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )=2x\cdot 2x=4x^{2}$


#731258 Cho A={0,1,2,3,4,5} ; từ các chữ số thuộc A lập được bao nhiêu số t...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 22-10-2021 - 07:44

Tuyệt vời! Một cách giải ngắn gọn, đơn giản, nhẹ nhàng, chơn chất, mộc mạc...có đâu như cách giải kia: nặng nề, dài dòng...hic...
Nhân đây, xin tri ân anh chanhquocnghiem nhiều nhiều... vì,trên 4rum này, có lẽ anh là người anh duy nhất đã kiểm tra tính đúng đắn hầu hết các lời giải từ trước đến giờ của em!
Thank you so much mille fois.(hihi..)
PS: Thật ra, nói đi thì cũng nói lại, công bằng mà nói: lời giải của em có thể ngắn đi một nửa (do không cần thực hiện bước tính số các số có 4 csố) một khi có thêm nhận xét là số các số có 5 csố bắt đầu bằng 0 sẽ chiếm 1/7 số các số 5 csố đã tính (đã tính là 840 số), do đó đáp số là : $840\times\frac{6}{7}=\boxed{720}$


#731215 Cho A={0,1,2,3,4,5} ; từ các chữ số thuộc A lập được bao nhiêu số t...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 19-10-2021 - 22:11

Chẳng hạn như, đề toán có thêm một số phá vỡ bước cuối (chẳng hạn số 6) hoặc yêu cầu các chữ số phải khác nhau thì làm thế nào ạ? Em cảm ơn thầy!

Chúng ta thử xét bài toán bao gồm cả 2 điều kiện ràng buộc trên như sau:
Cho $B=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \}$, từ B lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 csố khác nhau và số đó chia hết cho 3.
Giải ( hy vọng không bị sai...hic..) :
Trước hết, ta tính số các số có 5 csố khác nhau thỏa yêu cầu (kể cả csố 0 có nghĩa khi đứng bên trái ngoài cùng). Xét đa thức :
$f(x,y)=(1+x^0y)(1+x^1y)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)(1+x^6y)$
Hệ số của $y^5$ ( ký hiệu $\left [ y^{5} \right ]$ ) trong khai triển $f(x,y)$ là :
$ \left [ y^{5} \right ]f\left ( x,y \right )=r\left ( x \right )=x^{20}+x^{19}+2x^{18}+2x^{17}+3x^{16}+3x^{15}+3x^{14}+2x^{13}+2x^{12}+x^{11}+x^{10} $
Gọi $\omega $ là căn bậc 3 nguyên thủy thì $\omega ^{3}=1$ và :
$N_{1}=\frac{1}{3}\left ( r\left ( 1 \right )+r\left ( \omega \right ) +r\left ( \omega ^{2} \right )\right )$ . Ta có : $r\left ( 1 \right )=21,r\left ( \omega \right )=r\left ( \omega ^{2} \right )=0\Rightarrow N_{1}=\frac{21}{3}=7\Rightarrow$ số các số là $ S_{1}= 7\cdot5!=840$
Tiếp đến, ta tính số các số có 4 csố khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ $C=B\backslash\left \{ 0 \right \}$. Tương tự như trên, xét đa thức :
$g(x,y)=(1+x^1y)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)(1+x^6y)$
Hệ số của $y^4$ trong khai triển $g(x,y)$ là :
$ \left [ y^{4} \right ]g\left ( x,y \right )=s\left ( x \right )=x^{18}+x^{17}+2x^{16}+2x^{15}+3x^{14}+2x^{13}+2x^{12}+x^{11}+x^{10} $
Gọi $\omega $ là căn bậc 3 nguyên thủy thì :
$N_{2}=\frac{1}{3}\left ( s\left ( 1 \right )+s\left ( \omega \right ) +s\left ( \omega ^{2} \right )\right )$ . Ta có : $s\left ( 1 \right )=15, s\left ( \omega \right )=s\left ( \omega ^{2} \right )=0\Rightarrow N_{2}=\frac{15}{3}=5\Rightarrow$ số các số là $
S_{2}= 5\cdot4!=120$
Vậy, số các số thỏa yêu cầu đề bài là :
$S=S_{1}-S_{2}=840-120= \boxed {720}$