Đến nội dung

Nobodyv3

Nobodyv3

Đăng ký: 02-04-2021
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#737973 Tìm tất cả các số có 4 chữ số

Gửi bởi Nobodyv3 trong Hôm qua, 20:57

Một cách khácCác số dạng $\overline{abcd}$. Theo đề bài ta có: $\begin {cases} a+b-c-d=0\\1\leq a\leq 9,0\leq b,c,d\leq 9 \end {cases}$Đặt $a=x_1+1, b=x_2, c=9-x_3, d=9-x_4$ ta được $\begin {cases} x_1+1+x_2+x_3-9+x_4-9=0\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=17\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9 \end {cases}$ có số nghiệm là $\binom{20}{3}$.Xét trường hợp $x_1> 8$:Đặt $y_1=x_1-9$ ta có phương trình $ y_1+x_2+x_3+x_4=8\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{11}{3}$.
Xét trường hợp $x_2,x_3,x_4>9$: Đặt $y_2=x_2-10$ ta có phương trình $x_1+y_2+x_3+x_4=7\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{10}{3}$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$\binom{20}{3}-\binom{11}{3}-3\binom{10}{3}=615$

b) Xem chữ số 0 phía trái ngoài cùng là có nghĩa.
Ta thấy cứ 2 cặp chữ số cùng tổng thì lập được 8 số.
Từ các chữ số $a,b,c,d$ ta lập thành dãy tăng nghiêm ngặt $z_1<z_2<z_3<z_4$ thì ta đếm có bao nhiêu bộ $(z_1,z_2,z_3,z_4 )$. Với mỗi $t=z_2-z_1$ và đặt $z_1=p, z_2=p+t, z_3= q+t, z_4=p+2t$ ta có $\binom {10-2t}{2}$ cách chọn 2 phần tử $p<q$ của tập $\left\{ 0, 1,...,9-2t \right\}$ . Do $t$ chạy từ 1 đến 4 nên số các số tạo thành ( kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) là:
$8\sum_{t=1}^{4}\binom {10-2t}{2}=8\left[ \binom {8}{2}+\binom {6}{2}+\binom {4}{2}+\binom {2}{2}\right]=400$
Số các số có chữ số 0 đứng đầu : lúc này $p=0$, mỗi cách chọn 1 cặp số cùng tổng thì lập thành 2 số nên:
$2\sum_{t=1}^{4}\binom {9-2t}{1}=2\left[ \binom {7}{1}+ \binom {5}{1}+\binom {3}{1}+\binom {1}{1}\right]=32$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$400-32= 368$


#737925 Trục trặc với thanh thông báo

Gửi bởi Nobodyv3 trong 22-03-2023 - 21:36

@Nesbit Sao hôm nay giao diện thay đổi!
Em muốn xem giao diện của Bản chuẩn cơ.( Em xem bằng điện thoại thoại).

Hình gửi kèm

  • Screenshot_20230322-213146_Chrome.jpg



#737913 có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó phải có mặt cả 2,3,4

Gửi bởi Nobodyv3 trong 22-03-2023 - 13:19

thầy em dạy cách này,nhưng vẫn thấy có lỗi sai. Em xin nói cách đó như sau:
coi số đó như 5 ô
xếp 2,3,4 vào 5 ô có $A_{5}^{3}$ cách
sau khi xếp 2,3,4 còn lại 2 ô, mỗi ô ta có 10 cách chọn
vậy có 10.10.$A_{5}^{3}$ = 6000 số ( kể cả số 0 đứng đầu)
ta lại có: với cách xếp số 0 vào ô đầu ta còn lại 4 ô có:
$A_{4}^{3}$ cách xếp 2,3,4 vào 4 ô đó
10 cách xếp vào 1 ô còn lại
=> có $A_{4}^{3}$.10 =240 số
vậy có 6000-240 =5760 số thoả mãn.
em thấy chỗ này sai,ví dụ cách xếp số 23443 thì theo cách làm trên nó được tính thành nhiều số khác nhau. Như xếp 2,3,4 vào 3 ô đầu,rồi xếp 4,3 vào 2 ô sau; nhưng có cách khác để xếp nó : xếp 2,3,4 vào ô đầu và 2 ô cuối,sau đó xếp 3,4 vào ô 2 và 3,cũng được coi là 1 số.
mong mọi người góp ý ạ

Mình xin góp ý :
Với những bài toán dạng này, để tránh sai sót đáng tiếc, theo mình, tốt nhất nên sử dụng nguyên lý bù trừ (PIE) để giải, cụ thể ở bài này như sau :
Số các số không có chữ số 2(hoặc không có chữ số 3 hoặc không có chữ số 4): $8\cdot 9^4$
Số các số không có chữ số 2 và chữ số 3(hoặc không có chữ số 2 và chữ số 4 hoặc không có chữ số 3 và chữ số 4): $7\cdot 8^4$
Số các số không có cả 3 chữ số 2, 3, và 4: $6\cdot 7^4$
Theo nguyên lý bù trừ, số các số thỏa yêu cầu là :
$9\cdot 10^4-3\cdot 8\cdot 9^4+3\cdot 7\cdot 8^4-6\cdot 7^4=\boldsymbol {4146}$


#737899 Tìm công thức tính tổng các bình phương

Gửi bởi Nobodyv3 trong 21-03-2023 - 16:26

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Tổng quát :
Định lý
Định lý (không chứng minh)
$\sum_{k=1}^{n}k^m=\sum_{k=0}^{m}\binom {n+1}{k+1}S(m,k)k! \quad$ trong đó $S(m,k)$ là số Stirling loại 2

Áp dụng :
- Với $m=2:$
$1^2+2^2+....+n^2=\binom {n+1}{2}+2\binom {n+1}{3}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Với $m=3:$
$1^3+2^3+....+n^3=\binom {n+1}{2}+6\binom {n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}$
...vv....


#737888 xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 20-03-2023 - 20:52

Em vẫn lăn tăn hay mình chưa hiểu đúng ý của người ra đề, vì nếu đúng như anh nói thì bài toán không được hay nếu không muốn nói là tầm thường.


#737884 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1,...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 20-03-2023 - 18:34

[font='times new roman', serif]Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xêp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì không được xếp như vậy.[/font]

Xem tại đây https://diendantoanh...-đến-5-được-vi/


#737876 xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 20-03-2023 - 13:31

1) Đề bài chưa rõ ràng.
a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$
Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$
$\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.
b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.
c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

2) Ta có hàm sinh :
$f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$
$=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Đáp án là
$\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).


#737864 Bỏ ra $2$ lá từ một bộ bài $52$ lá, sau đó phát đều cho...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 19-03-2023 - 21:21

Mình nghĩ đề bài là :

Bỏ ra $2$ lá từ một bộ bài $52$ lá, sau đó phát đều cho $5$ người chơi. Tìm xác suất có đúng $1$ trong $5$ người chơi có $2$ lá Aces.

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Ta có các TH:
TH 1: 2 lá bài rút ra không phải là 2 lá át: $C_{48}^{2}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{4}^{2}C_{46}^{8}$
2 người mỗi người có 1 lá át:$C_{2}^{1}C_{38}^{9}C_{29}^{9}$
và 2 người còn lại : $C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_1=C_{48}^{2}C_{4}^{2}C_{46}^{8}C_{2}^{1}C_{38}^{9}C_{29}^{9}C_{20}^{10}$
TH 2: 2 lá bài rút ra có 1 lá át: $C_{4}^{1}C_{48}^{1}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{3}^{2}C_{47}^{8}$
và cho 4 người còn lại: $C_{39}^{9}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_2=C_{4}^{1}C_{48}^{1}C_{3}^{2}C_{47}^{8}C_{39}^{9}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
TH 3: 2 lá bài rút ra là 2 lá át: $C_{4}^{2}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{48}^{8}$
và cho 4 người còn lại: $C_{40}^{10}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_3=C_{4}^{2}C_{48}^{8}C_{40}^{10}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
Xác suất cần tìm là :
$P(A)=\frac {D_1+D_2+D_3}{C_{52}^{2}C_{50}^{10}C_{40}^{10} C_{30}^{10}C_{20}^{10} }$


#737852 xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 19-03-2023 - 12:02

1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$


#737827 Bằng cách lý luận tổ hợp, hãy chứng tỏ rằng $\sum_{k=0}^{n}\bi...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 17-03-2023 - 21:35

vi) Giả sử ta có bài toán : " Tính số xâu nhị phân kích thước n+1 có đúng hai bit 1."
Giải:
+ Cách 1: Số xâu nhị phân kích thước n+1 có đúng hai bít 1 là : $\binom {n+1}{2}=\frac {n(n+1)}{2}$
+ Cách 2: Ta sẽ tính số xâu nhị phân tùy theo vị trí đầu tiên của bit 1 trong xâu (từ trái qua phải ).
- Bit 1 đầu tiên đứng ở vị trí thứ nhất : có $n$ cách chọn vị trí cho bit 1 còn lại.
- Bit 1 đầu tiên đứng ở vị trí thứ hai : có $n-1$ cách chọn vị trí cho bit 1 còn lại.
- Bit 1 đầu tiên đứng ở vị trí thứ ba : có $n-2$ cách chọn vị trí cho bit 1 còn lại.
.......
......
- Bit 1 đầu tiên đứng ở vị trí thứ n-1 : có $2$ cách chọn vị trí cho bit 1 còn lại.
- Bit 1 đầu tiên đứng ở vị trí thứ n : có $1$ cách chọn vị trí cho bit 1 còn lại.
Vậy số xâu nhị phân kích thước n+1 có đúng hai bít 1 là :$n+(n-1)+(n-2)+...+2+1$
Kết luận :
Cách 1 và cách 2 là 2 lời giải đúng của cùng một bài toán cho nên :
$$1+2+....+(n-2)+(n-1)+n=\frac {n(n+1)}{2}\quad\quad\square$$


#737817 Thông báo về việc bảo trì diễn đàn

Gửi bởi Nobodyv3 trong 17-03-2023 - 14:45

Méc anh @Nesbit tiếp...
Tiêu đề tự động viết hoa, anh ơi.

Hình gửi kèm

  • Screenshot_20230317-143953_Chrome.jpg



#737816 Bằng cách lý luận tổ hợp, hãy chứng tỏ rằng $\sum_{k=0}^{n}\bi...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 17-03-2023 - 14:25

Bằng cách lý luận tổ hợp, hãy chứng tỏ rằng :
i) $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$
ii)$\binom {n}{k}=\binom {n}{n-k}$
iii)$\frac {(2n)!}{2^n\cdot n!}=(2n-1)(2n-3)...3\cdot 1$
iv) Với mọi số nguyên dương  $n\geq k $:
$\binom {n}{k}+\binom {n}{k-1}=\binom {n+1}{k}$
v) $k\binom {n}{k}=n\binom {n-1}{k-1}$
vi) $1+2+...+n=\frac {n(n+1)}{2}$
vii) Thiết lập đẳng thức tổ hợp trong tình huống : từ m bạn nam và n bạn nữ lập thành 1 tổ có k bạn.




#737813 Gieo 1 Con Xúc Xắc N Lần.

Gửi bởi Nobodyv3 trong 17-03-2023 - 10:47

1) Bài này giống như bài : "Chia $n$ phần quà khác nhau cho $6$ người. Tính xác suất để ai cũng có quà ?"
Gọi $A$ là biến cố "trong $n$ lần gieo, tất cả $6$ mặt đều xuất hiện.
Ta có $n(A)=6^n-C_6^1.5^n+C_6^2.4^n-C_6^3.3^n+C_6^4.2^n-C_6^5.1^n=\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n$
Và xác suất cần tìm là $P=\frac{\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n}{6^n}$.

2) Xét dãy tăng không nghiêm ngặt $\left \{ a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \right \}$.
Đặt $k=a_{10}-a_1$ ($0\leqslant k\leqslant 5$).
Với mỗi $k$ :
+ Chọn $a_1$ và $a_{10}$ : Có $6-k$ cách.
+ Số cách chọn các $a_i$ còn lại là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3+...+x_9=k$
và bằng $C_{k+8}^k$
$\Rightarrow$ Số dãy tăng nghiêm ngặt có thể có là $\sum_{k=0}^{5}(6-k)C_{k+8}^k=6C_8^0+5C_9^1+4C_{10}^2+3C_{11}^3+2C_{12}^4+C_{13}^5=C_{14}^5+C_{13}^4+C_{12}^3+C_{11}^2+C_{10}^1+C_9^0=C_{15}^5$
Xác suất cần tính là $P=\frac{C_{15}^5}{6^{10}}=\frac{3003}{6^{10}}$.

1) Đúng vậy!
2) Cách lập luận khác :
Ta có :$1\leq a_1\leq a_2\leq ...\leq a_{10}\leq 6\\
\Rightarrow 1\leq a_1<a_2+1<...<a_{10}+9\leq 15\\
\Rightarrow \binom {15}{10}=\binom {15}{5}=3003$
hoặc là :
Ta thấy mỗi dãy kết quả tương ứng với 1 vec tơ biểu diễn số lần xuất hiện các mặt của xúc xắc, thí dụ : dãy kết quả $ (1,1,2,3,4,4,5,5,5,6)$ tương ứng với véc tơ $\left \langle 2,1,1,2,3,1 \right \rangle$, dễ thấy đây có 1 song ánh giữa các dãy kết quả và các véc tơ. Như vậy ta cần tính số nghiệm nguyên không âm của :
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=10\\
x_i\geq 0
\end {cases}$ và bằng $\binom {15}{5}=3003$


#737792 Gieo 1 Con Xúc Xắc N Lần.

Gửi bởi Nobodyv3 trong 16-03-2023 - 14:42

1) Gieo 1 con xúc xắc n lần. Hỏi xác suất để tất cả các mặt của nó đều xuất hiện.
2) Gieo 1 con xúc xắc 10 lần. Hỏi xác suất để dãy kết quả là dãy tăng không nghiêm ngặt ( là dãy mà kết quả lần sau không nhỏ hơn kết quả lần trước kế nó. Thí dụ : dãy {1,1,3,3,3,3,5,6,6,6} là dãy tăng không nghiêm ngặt).


#737783 Thông báo về việc bảo trì diễn đàn

Gửi bởi Nobodyv3 trong 16-03-2023 - 06:59

Em có chí hướng "tây du cứu nước" không? :D

Em mà cứu được ai anh ơi, tài hèn sức mọn ( ở nhà em thường bị mắng là đồ ăn hại! hic...).
Nhưng em không rõ ý anh lắm! Có gì bất tiện anh có thể trao đổi private messages với em nhé.