Đến nội dung

Nobodyv3

Nobodyv3

Đăng ký: 02-04-2021
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#739164 Tìm số dãy số có n chữ số lập được từ các chữ số {0,1,2,3} mà tổng...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 11-05-2023 - 10:55

Tính số dãy số có n chữ số lập được từ các chữ số $ \left \{ 0,1,2,3 \right \} $ mà tổng các chữ số 0 và 1 là:
a/ số chẵn.
b/ bội số của 4.


#739102 Hai con kiến ở 2 đỉnh đối xứng trên một khối bát diện đều

Gửi bởi Nobodyv3 trong 08-05-2023 - 09:50

1/ Hai con kiến ở 2 đỉnh đối xứng trên một khối bát diện đều( có 6 đỉnh và mỗi đỉnh kề với 4 đỉnh khác). Đồng thời, mỗi con kiến di chuyển ngẫu nhiên về một trong 4 đỉnh kề với đỉnh mà nó xuất phát. Cuối cùng chúng gặp nhau tại một đỉnh hoặc tại một cạnh của bát diện. Hỏi xác suất để chúng gặp nhau trên một cạnh của khối bát diện này.
2/ Vốn tính hiếu động, cu Quậy cảm thấy bàn học của cu cậu hơi cao nên quyết định cưa bớt 4 chân bàn. Chân bàn cao 8 tấc (biết 1 tấc=10cm). Với mỗi chân bàn, cậu ta chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên $x, \; 0\leq x<8$ và cưa $x$ tấc cái chân này. Sau khi cưa xong 4 chân, hỏi xác suất cưa chân bàn đế bàn không khập khiễng ( có thể bàn sẽ nghiêng nhưng miễn sao 4 chân bàn đồng phẳng là OK).


#739091 Có bao nhiêu cách bỏ 10 viên bi khác nhau vào 4 hộp khác nhau

Gửi bởi Nobodyv3 trong 07-05-2023 - 21:21

Có bao nhiêu cách bỏ 10 viên bi khác nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho:
a/ Có đúng 1 hộp có 3 viên bi
b/ Có đúng 2 hộp có 3 viên bi.
Edited : Nhận thấy trong bài OP có dữ liệu đầu vào khá lớn, không nhất thiết phải như vậy, nên mình chỉnh lại như trên cho dễ tính toán hơn.


#739053 Chứng minh rằng $n$ đường thẳng này chia mặt phẳng thành $...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 05-05-2023 - 20:09

Như vậy anh @chanhquocnghiem đã trình bày cách 1: dùng nguyên lý qui nạp, tiếp theo mình xin trình bày cách 2: lập hệ thức truy hồi.
Cách 2: Dùng hàm sinh tính nghiệm của hệ thức truy hồi :
Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng là $a_n$. Giả sử đã vẽ n-1 đường thẳng, giờ vẽ thêm đường thẳng thứ n thì số phần được thêm bằng số giao điểm được thêm cộng 1; mà số giao điểm được thêm là số giao điểm giữa đường thẳng thứ n và n-1 đường thẳng trước tức là n-1 giao điểm, do đó ta có hệ thức truy hồi :
$\begin {cases}
a_0=1\\
a_n=a_{n-1}+n, \; n\geq 1&& (*)
\end{cases}$
Đặt $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ . Để tính nghiệm tổng quát, ta nhân 2 vế của $(*)$ với $x^n$ rồi cho n chạy từ $1$ đến $\infty $ sau đó cộng vế với vế như sau :
$$\begin {align*}
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=1}^{\infty }a_{n-1}x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n-1})x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-x\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
A(x)-a_0-xA(x)&=\frac {x}{(1-x)^2}\\
A(x)(1-x)&=\frac {x}{(1-x)^2}+1\\
A(x)&=\frac {x}{(1-x)^3}+ \frac {1}{1-x} \\
A(x)&=\sum_{n=0}^{\infty }\binom {n+1}{2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty }x^n
\end{align*}$$
Suy ra nghiệm tổng quát là :
$$a_n=\frac {n(n+1)}{2}+1=\boldsymbol {\frac {n^2+n+2}{2}}$$


#739040 Chứng minh rằng $n$ đường thẳng này chia mặt phẳng thành $...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 05-05-2023 - 11:32

Ten years later....
Nào, mời các bạn tham gia chứng minh càng nhiều cách càng tốt....


#739010 Gieo đồng thời 2 viên súc xắc giống hệt nhau. Tính xác suất để tổng 2 mặt trê...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 03-05-2023 - 07:20

Tập biến cố kết quả thuận lợi $A'=\{\{3,6\};\{4,5\}\}$ khi xét 2 xúc xắc không thứ tự thuộc không gian mẫu :
$$\begin{array}{rrrrrrr}\{\{1,1\}; &\{1,2\}; & \{1,3\}; & \{1,4\}; & \{1,5\}; & \{1,6\}; & \\
  & \{2,2\};  & \{2,3\}; & \{2,4\};  & \{2,5\}; & \{2,6\}; &  \\  &  & \{3,3\}; & \{3,4\}; & \{3,5\}; & \{3,6\}; &  \\  &  &  & \{4,4\}; & \{4,5\}; & \{4,6\}; &  \\ & & &  & \{5,5\}; & \{5,6\}; &  \\
&  &  &  &  &
\{6,6\}\} \end{array}$$ dẫn đến kết quả không đúng $P(A')=\frac {2}{21}$, lý do là các phần tử trong không gian mẫu không cùng khả năng. Thực vậy, kết quả cho bởi 2 số khác nhau (thí dụ 1 ,2) có XS gấp đôi kết quả cho bởi 2 số giống nhau (thí dụ 2, 2).
Để hiệu chỉnh, ta thêm "trọng số " 2 cho kết quả của 2 số khác nhau và "trọng số " 1 cho kết quả của 2 số giống nhau, lúc này XS sẽ là :
$P(A')=\frac {2.2}{(1.6)+(2.15)}=\frac {1}{9}$


#738986 Bài toán cũ: Gieo con xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để tổng số các chấm là 9.

Gửi bởi Nobodyv3 trong 02-05-2023 - 17:53

Một bài toán cũ (đã được các bạn posted, nhưng em không tìm ra bài OP!):
Gieo con xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để tổng số các chấm là 9.
Mình thấy khi giải bài này, một số bạn cho kết quả là $\frac {1}{9}$ và cũng có một số bạn khác cho kết quả là $\frac {2}{21}$.
Thế thì theo bạn, đáp án nào sai ? Tại sao sai? và nếu phải sửa, thì phải chỉnh lại như thế nào để được đáp án đúng?


#738962 Có bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau có đồng thời 0,1,2 và chúng đứng c...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 01-05-2023 - 16:32

Cho tập hợp $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $6$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$ đồng thời phải có mặt của $3$ chữ số $0,1,2$ và chúng phải đứng cạnh nhau.

Tùy theo vị trí của bộ thứ tự (0,1,2) mà ta có : $(0,1,2)zzz:2.2.1.A_{4}^{2}.2=96$
$z(0,1,2)zz:A_{4}^{2}.3!.2=144$
$zz(0,1,2)z:A_{4}^{2}.3!.2=144$
$zzz(0,1,2):A_{5}^{3}.2.2=240$
Tổng cộng : $624$ số


#738960 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau trong đó số 1 phả...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 01-05-2023 - 16:22

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau trong đó số 1 phải đứng trước số 2, số 5 phải đứng trước 7?

Ta có các trường hợp :
- (1 trước 2) và (5 trước 7) hoặc (1 trước 2) và (7 trước 5).
- (2 trước 1) và (5 trước 7) hoặc (2 trước 1) và (7 trước 5).
Do các chữ số có vai trò như nhau nên số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {8!}{4}=10080$


#738930 Có bao nhiêu số tự nhiên có dạng $\overline{a_{1}a_...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 30-04-2023 - 20:14

@hxthanh: ...trên từng cây số, thầy không đi chơi lễ à?
Bài 2: Cách khác :
Ta có hàm sinh cho số phân hoạch n thành 3 số nguyên dương phân biệt:
$f(x)=\frac {x^6}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}$
Do đó đáp án là :
$\Rightarrow [x^{2016}]f(x)=\boldsymbol {337681}$


#738924 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3$, biết số đó gồm $201...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 30-04-2023 - 12:51

Tuyệt vời!
Một cách giải Made in hxthanh và $hxthanh^{ \textregistered}$


#738914 Có bao nhiêu số 4 chữ số khác nhau chia hết cho 6 và tổng các chữ số cũng chi...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 29-04-2023 - 20:06

@hxthanh: em nghĩ không những tiếp tục mà còn phải phổ biến hơn nữa! Những bài giải của thầy có nét duyên dáng, độc đáo riêng... mọi người nên học hỏi.
Thú thật, khi đọc các bài của thầy, riêng em, không thể một sớm một chiều mà hiểu được! Phải nghiền ngẫm nhiều ngày mà chưa chắc lĩnh hội thấu đáo nên phải đành gác lại để khi nào rảnh rỗi đọc tới đọc lui thì may ra hiểu phần nào...
Tóm lại, thầy cứ tiếp tục post bài thầy nhé, có thể các bài này không kiêu sa,
cuốn hút như một cô tiểu thư đài các chốn thị thành nhưng lại nổi bật phần duyên dáng, thùy mị, giản dị của một cô gái chân quê, mộc mạc, diệu hiền...


#738899 Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 29-04-2023 - 07:43

@hxthanh :Thật ra em chưa nghĩ ra cách tính tay bài toán này. Em post lên cho mọi người giải để mà học hỏi. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của máy tính thì đáp án của em là $63497$, rất mong mọi người kiểm tra giúp.


#738893 Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 28-04-2023 - 13:22

Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3) ) $ với :
$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3\le 11\\
y_1+y_2+y_3\le 13\\
z_1+z_2+z_3\le 15\\
x_1+y_1+z_1=8\\
x_2+y_2+z_2=8\\
x_3+y_3+z_3=8
\end{cases}$


#738892 $\overline{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}}\;\vdots\; n...

Gửi bởi Nobodyv3 trong 28-04-2023 - 09:11

Trường hợp riêng $n=3,9$ (tdụ với số 3 chữ số ):
$x=\overline{abc}=100a+10b+c=9(11a+b)+a+b+c$
$\Rightarrow$ tất cả các số chia hết cho 3, cho 9 thì thỏa đề bài.