Nobodyv3

<p>Ơ...lại bị lỗi rồi...&nbsp;</p>
Cách khác, dùng hàm sinh.
Ta có hàm sinh:
$f(x)=\left (\frac {x}{(1-x^2)\right) ^9$
Suy ra số nghiệm thỏa đề bài là :
$\begin {align*}
left [ x^{2009} \right] f(x)&=left [ x^{2000} \right] (1-x^2)^{-9}\\&=left [ x^{2000} \right] \sum_{k=0}^{\infty }\binom {k+8}{8}x^{2k}\\&=\binom {2008}{8}\\&=\boldsymbol{25708099169553626826}
\end{align*}$

Sorry
Cách khác, dùng hàm sinh.
Ta có hàm sinh:
$f(x)=\left (\frac {x}{(1-x^2)}\right)^9$
Suy ra số nghiệm thỏa đề bài là :
\begin{align*} \left[ x^{2009} \right] f(x)&=\left[ x^{2000} \right] (1-x^2)^{-9}\\&=\left[ x^{2000} \right] \sum_{k=0}^{\infty }\binom {k+8}{8}x^{2k}\\&=\binom {1008}{8}\\&=\boldsymbol{25708099169553626826} \end{align*}

@hxthanh: quá đẹp! @chanhquocnghiem: Thank you so much. Em quên béng đi mất!

Em xin trình bày lời giải sử dụng hàm sinh.

1) Hàm sinh cho số cách chọn chữ A: $\frac {1}{1-x^2}$.

Hàm sinh cho số cách chọn chữ B, hoặc C: $\frac {1}{1-x}$.

Vậy ta có hàm sinh :

$$f(x)=\frac {1}{(1-x^2)}\frac {1}{(1-x)^2}=\frac {1}{(1+x)}\frac {1}{(1-x)^3}.$$ Tách đa thức ta được :

$$f(x)=\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1+x)}+\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1-x)}+\frac {1}{4}\cdot \frac {1}{(1-x)^2}+\frac {1}{2}\cdot \frac {1}{(1-x)^3}$$ Suy ra số cách chọn thỏa yêu cầu là : $$a_n=\frac {1}{8}(-1)^n+\frac {1}{8}+\frac {1}{4}(n+1)+ \frac {1}{2}\binom {n+2}{2}$$

Hay là :

$$a_n=\begin {cases} \frac {n^2+4n+4}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\ \frac {n^2+4n+3}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases} \Leftrightarrow a_n=\begin {cases} \frac {(n+2)^2}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\
\frac {(n+2)^2-1}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases}\Leftrightarrow \boldsymbol{a_n=\left \lfloor \frac{(n+2)^2}{4} \right \rfloor}$$

 

@Nesbit: mừng quá anh!

Vào lúc 25 Tháng 3 2023 - 16:23, chuyenndu đã nói:
mình thấy bạn này chỉ toàn hỏi bài nhỉ?

Mình like @chuyendu vì mình thấy nhận xét của bạn ấy là chính xác.
Tất nhiên, lời góp ý của anh @Nesbit phải ở góc độ một người anh rộng lượng, bao dung (trong đó thấp thoáng bóng dáng của một nhà ngoại giao khéo léo!).
-trich dan-
Bạn nói là vào forum để trao đổi. Đồng ý. Nhưng bạn ( và 1 ít người nữa trên forum này ) chỉ thực hiện có 50%: muốn " trao" thì nhiều (mỗi lần bạn post 3,4 bài toán) còn "đổi " thì... nothing!, muốn "nhận " thì nhiều còn "cho" là con số 0 to tướng. Theo mình biết, ở các forum khác, khi post 1 đề toán để được giúp đỡ, bạn phải trình bày đã giải tới đâu, vướng mắc ở chỗ nào...nếu chỉ post đề bài trần trụi thì sẽ bị đóng topic ngay và lúc đó sẽ không có một ai trả lời bạn cả! và nếu tái diễn, forum sẽ khóa không cho post nữa. Đúng là có những bài hoàn toàn bế tắc, nhưng loại này khi post chỉ nên chiếm tỉ lệ nhỏ thôi.
Ngoài ra, khi có ai đó giải xong bài toán của bạn, mình thấy bạn vui thì like, buồn thì thôi (rất tiếc, đa số là bạn buồn!), không trả lời trả vốn gì cả. Tất nhiên người trả lời không cần các like của bạn, nhưng họ muốn biết chất xám, thời gian, công sức... của họ có giúp ích bạn được gì không. Họ giúp mình, thì theo lẽ thường, mình phải tỏ lòng biết ơn và trả ơn họ. Trả ơn bằng cách nào đây? Thiết nghĩ bạn nên trả ơn cho cộng đồng bằng cách giải các bài toán có level thấp hơn toán olympic, toán THPT chẳng hạn ( vì mình thấy bạn toàn post đề toán ở topic toán olympic mà thôi, chứng tỏ rằng toán THPT bạn rất OK, không vướng mắc gì nên việc giải các bài toán thuộc topic này hoàn toàn trong khả năng của bạn), và lúc này bạn mới thực sự đúng là thực hiện 50% còn lại ( tức là "đổi ", là "cho") đấy : Như vậy mới trọn vẹn : là có "trao ", có "đổi "; là có "nhận ", có "cho"...
Lời nhận xét của em có hợp lý không quý dzị? (Xin cô Hằng bỏ qua việc vi phạm bản quyền này nhé!).

@hxthanh: quá đẹp! @chanhquocnghiem: Thank you so much. Em quên béng đi mất! Em xin trình bày lời giải sử dụng hàm sinh.

 

1) Hàm sinh cho số cách chọn chữ A: $\frac {1}{1-x^2}$. Hàm sinh cho số cách chọn chữ B, hoặc C: $\frac {1}{1-x}$. Vậy ta có hàm sinh :

$$f(x)=\frac {1}{(1-x^2)}\frac {1}{(1-x)^2}=\frac {1}{(1+x)}\frac {1}{(1-x)^3}.$$

Tách đa thức ta được : $$f(x)=\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1+x)}+\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1-x)}+\frac {1}{4}\cdot \frac {1}{(1-x)^2}+\frac {1}{2}\cdot \frac {1}{(1-x)^3}$$

Suy ra số cách chọn thỏa yêu cầu là :

$$a_n=\frac {1}{8}(-1)^n+\frac {1}{8}+\frac {1}{4}(n+1)+ \frac {1}{2}\binom {n+2}{2}$$

Hay là : $$a_n=\begin {cases} \frac {n^2+4n+4}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\ \frac {n^2+4n+3}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases}\Leftrightarrow a_n=\begin {cases} \frac {(n+2)^2}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\
\frac {(n+2)^2-1}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases}\Leftrightarrow a_n= \boldsymbol{\left \lfloor \frac{(n+2)^2}{4} \right \rfloor} $$

 

2) Ta có hàm sinh : $$f(x)=\left( x^{20}+x^{40}+x^{60}+x^{80}+ x^{100}  \right) ^4=x^{80}\frac {(1-x^{100})^4}{(1- x^{20})^4}.$$

Số cách xếp thỏa yêu cầu là :

$$\begin {align*} \left [ x^{200} \right ]f(x)&=\left [ x^{120} \right ]\left ( 1-4x^{100}+... \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom {k+3}{3}x^{20k}\\ &=\binom {9}{3}-4\binom {4}{3}=84-16=68 \end  {align*}.$$

Một cách khácCác số dạng $\overline{abcd}$. Theo đề bài ta có: $\begin {cases} a+b-c-d=0\\1\leq a\leq 9,0\leq b,c,d\leq 9 \end {cases}$Đặt $a=x_1+1, b=x_2, c=9-x_3, d=9-x_4$ ta được $\begin {cases} x_1+1+x_2+x_3-9+x_4-9=0\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=17\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9 \end {cases}$ có số nghiệm là $\binom{20}{3}$.Xét trường hợp $x_1> 8$:Đặt $y_1=x_1-9$ ta có phương trình $ y_1+x_2+x_3+x_4=8\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{11}{3}$.
Xét trường hợp $x_2,x_3,x_4>9$: Đặt $y_2=x_2-10$ ta có phương trình $x_1+y_2+x_3+x_4=7\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{10}{3}$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$\binom{20}{3}-\binom{11}{3}-3\binom{10}{3}=615$

b) Xem chữ số 0 phía trái ngoài cùng là có nghĩa.
Ta thấy cứ 2 cặp chữ số cùng tổng thì lập được 8 số.
Từ các chữ số $a,b,c,d$ ta lập thành dãy tăng nghiêm ngặt $z_1<z_2<z_3<z_4$ thì ta đếm có bao nhiêu bộ $(z_1,z_2,z_3,z_4 )$. Với mỗi $t=z_2-z_1$ và đặt $z_1=p, z_2=p+t, z_3= q+t, z_4=p+2t$ ta có $\binom {10-2t}{2}$ cách chọn 2 phần tử $p<q$ của tập $\left\{ 0, 1,...,9-2t \right\}$ . Do $t$ chạy từ 1 đến 4 nên số các số tạo thành ( kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) là:
$8\sum_{t=1}^{4}\binom {10-2t}{2}=8\left[ \binom {8}{2}+\binom {6}{2}+\binom {4}{2}+\binom {2}{2}\right]=400$
Số các số có chữ số 0 đứng đầu : lúc này $p=0$, mỗi cách chọn 1 cặp số cùng tổng thì lập thành 2 số nên:
$2\sum_{t=1}^{4}\binom {9-2t}{1}=2\left[ \binom {7}{1}+ \binom {5}{1}+\binom {3}{1}+\binom {1}{1}\right]=32$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$400-32= 368$

@Nesbit Sao hôm nay giao diện thay đổi!
Em muốn xem giao diện của Bản chuẩn cơ.( Em xem bằng điện thoại thoại).

1) Từ các chữ cái A, B, C, hỏi có bao nhiêu cách chọn n chữ cái sao cho số chữ A là số chẵn.
2) Có bao nhiêu cách xếp 200 chiếc ghế giống nhau vào 4 phòng sao cho mỗi phòng có 20, hoặc 40, hoặc 60, hoặc 80, hoặc 100 ghế.

thầy em dạy cách này,nhưng vẫn thấy có lỗi sai. Em xin nói cách đó như sau:
coi số đó như 5 ô
xếp 2,3,4 vào 5 ô có $A_{5}^{3}$ cách
sau khi xếp 2,3,4 còn lại 2 ô, mỗi ô ta có 10 cách chọn
vậy có 10.10.$A_{5}^{3}$ = 6000 số ( kể cả số 0 đứng đầu)
ta lại có: với cách xếp số 0 vào ô đầu ta còn lại 4 ô có:
$A_{4}^{3}$ cách xếp 2,3,4 vào 4 ô đó
10 cách xếp vào 1 ô còn lại
=> có $A_{4}^{3}$.10 =240 số
vậy có 6000-240 =5760 số thoả mãn.
em thấy chỗ này sai,ví dụ cách xếp số 23443 thì theo cách làm trên nó được tính thành nhiều số khác nhau. Như xếp 2,3,4 vào 3 ô đầu,rồi xếp 4,3 vào 2 ô sau; nhưng có cách khác để xếp nó : xếp 2,3,4 vào ô đầu và 2 ô cuối,sau đó xếp 3,4 vào ô 2 và 3,cũng được coi là 1 số.
mong mọi người góp ý ạ

Mình xin góp ý :
Với những bài toán dạng này, để tránh sai sót đáng tiếc, theo mình, tốt nhất nên sử dụng nguyên lý bù trừ (PIE) để giải, cụ thể ở bài này như sau :
Số các số không có chữ số 2(hoặc không có chữ số 3 hoặc không có chữ số 4): $8\cdot 9^4$
Số các số không có chữ số 2 và chữ số 3(hoặc không có chữ số 2 và chữ số 4 hoặc không có chữ số 3 và chữ số 4): $7\cdot 8^4$
Số các số không có cả 3 chữ số 2, 3, và 4: $6\cdot 7^4$
Theo nguyên lý bù trừ, số các số thỏa yêu cầu là :
$9\cdot 10^4-3\cdot 8\cdot 9^4+3\cdot 7\cdot 8^4-6\cdot 7^4=\boldsymbol {4146}$

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Tổng quát :

Định lý (không chứng minh)
$\sum_{k=1}^{n}k^m=\sum_{k=0}^{m}\binom {n+1}{k+1}S(m,k)k! \quad$ trong đó $S(m,k)$ là số Stirling loại 2

Áp dụng :
- Với $m=2:$
$1^2+2^2+....+n^2=\binom {n+1}{2}+2\binom {n+1}{3}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Với $m=3:$
$1^3+2^3+....+n^3=\binom {n+1}{2}+6\binom {n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}$
...vv....

Em vẫn lăn tăn hay mình chưa hiểu đúng ý của người ra đề, vì nếu đúng như anh nói thì bài toán không được hay nếu không muốn nói là tầm thường.

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xêp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì không được xếp như vậy.

Xem tại đây https://diendantoanh...-đến-5-được-vi/

1) Đề bài chưa rõ ràng.
a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$
Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$
$\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.
b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.
c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

2) Ta có hàm sinh :
$f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$
$=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Đáp án là
$\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).

Mình nghĩ đề bài là :

Bỏ ra $2$ lá từ một bộ bài $52$ lá, sau đó phát đều cho $5$ người chơi. Tìm xác suất có đúng $1$ trong $5$ người chơi có $2$ lá Aces.

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Ta có các TH:
TH 1: 2 lá bài rút ra không phải là 2 lá át: $C_{48}^{2}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{4}^{2}C_{46}^{8}$
2 người mỗi người có 1 lá át:$C_{2}^{1}C_{38}^{9}C_{29}^{9}$
và 2 người còn lại : $C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_1=C_{48}^{2}C_{4}^{2}C_{46}^{8}C_{2}^{1}C_{38}^{9}C_{29}^{9}C_{20}^{10}$
TH 2: 2 lá bài rút ra có 1 lá át: $C_{4}^{1}C_{48}^{1}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{3}^{2}C_{47}^{8}$
và cho 4 người còn lại: $C_{39}^{9}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_2=C_{4}^{1}C_{48}^{1}C_{3}^{2}C_{47}^{8}C_{39}^{9}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
TH 3: 2 lá bài rút ra là 2 lá át: $C_{4}^{2}$
Số cách chia đúng 1 người có 2 lá át:$C_{48}^{8}$
và cho 4 người còn lại: $C_{40}^{10}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
$\Rightarrow D_3=C_{4}^{2}C_{48}^{8}C_{40}^{10}C_{30}^{10}C_{20}^{10}$
Xác suất cần tìm là :
$P(A)=\frac {D_1+D_2+D_3}{C_{52}^{2}C_{50}^{10}C_{40}^{10} C_{30}^{10}C_{20}^{10} }$

1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$