Mình góp 1 cách hơi khác một xíu:
Giả sử a = max{a, b, c}
TH1: $2b + 2c \geq a$
bđt tương đương $\sum \frac{2a + 2b - c}{2a + c} \geq 3$
$\Rightarrow \sum \frac{2a + 2b -c}{2a + c} \geq \sum \frac{(\sum 2a + 2b - c)^2}{\sum (2a +2b - c)(2a + c)} = \frac{9(\sum a)^2}{3\sum a^2 + 6\sum ab} = 3$
TH2: $a > 2b + 2c$
chứng minh được:
$2b + a < 2a + c$
Do đó:
$\frac{2a + b}{2a + c} + \frac{2b + c}{2b + a} > 1 + \frac{3b}{2a + c} > 1$
mà $\frac{2c + a}{2c + b} > \frac{2c + (2b + 2c)}{2c + b} = 2$
Cộng 2 bđt ta có: $\sum \frac{2a + b}{2a + c} > 3$
Vậy bđt được chứng minh:
dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$
Lúc đầu mình định đăng cách kia nhma có anh kia đăng r hic nên phải ngồi nghĩ cách khác
bác cho e hỏi tại sao phải xét 3 trường hợp đó ạ?