bimcaucau

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2b+a}+\frac{2c+a}{2c+b}\geq 3$

Cho $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

$4(xy+yz+zx) - 3xyz \leq 9$

thầy em gợi í dùng schur mà e chả biết làm sao T_T

Hình như thiếu giả thiết $a,b,c,d$ đôi một phân biệt?

Đặt A là biểu thức trên. Trước hết nhận thấy:

$A> \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1$.

Lại có $A<\sum\frac{a+c+d}{a+b+c+d}=3$.

Do đó $\sum\frac{a}{a+b}=2\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}-\frac{b}{a+b}-\frac{d}{c+d}+\frac{d}{d+a}=0\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(a+b)(b+c)}+\frac{d(c-a)}{(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-d)(ac-bd)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow ac=bd$.

Giả sử $a+b+c+d=p$ là số nguyên tố.

Ta có $dp=d(a+b+c+d)=da+ac+dc+d^2=(a+d)(c+d)$.

Do đó $a+d$ hoặc $c+d$ chia hết cho p. Mà $0<a+d;c+d<p$ nên ta có điều vô lí.

Vậy...

có thiếu đôi một khác nhau thật bác ạ, hihi em nhầm

Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') có R < R' cắt nhau tại 2 điểm M,N. Đường kính MA của (O;R) cắt (O';R') tại C khác M. Đường kính MB của (O';R') cắt (O;R) tại điểm D khác M. Hai tia AD và BC cắt nhau tại E. I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:

$EM.EN = EI^2 - OO'^2$

Cho các số thực x,y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$T = \frac{x-y}{x^4+y^4+6}$

Tìm tất cả đa thức hệ số thực p(x),q(x),r(x).Thỏa mãn:

$p(x)-q(x)=r(x).(\sqrt{q(x)}+\sqrt{p(x)}) (\forall x\epsilon R)$

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\geq 3$. Chứng minh

$x^4+y^4+z^4+x^3+y^3+z^3\geq 3+x+y+z$

cho a,b,c không âm và a+b+c=4. TÌm min 

$P=\frac{a}{b^6+729}+\frac{b}{c^6+729}+\frac{c}{a^6+729}$

cho ab+bc+ca=3ab+bc+ca=3. Tìm giá trị lớn nhất của:

$A= \frac{a}{a^4+8a+7}+\frac{b}{b^4+8b+7}+\frac{c}{c^4+8c+7}$

em xin đóng góp bài giải cho các bác ạ

với k nguyên dương

ta có: $k=\sqrt{k^2}=\sqrt{1+(k-1).(k+1)}$

Áp dụng ta có:

$3 = \sqrt{1+2.4} = \sqrt{1+2.\sqrt{1+3.5}}=...=\sqrt{1+2.\sqrt{1+3\sqrt{}1+...\sqrt{1+(n-1)(n+1)}}}=\sqrt{1+2.\sqrt{1+3.5}}=...=\sqrt{1+2.\sqrt{1+3\sqrt{}1+...\sqrt{1+(n-1).\sqrt{1+(n)(n+2)}}}} > $ biểu thức ban đầu

vậy ta có đpcm

cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1. chứng minh rằng

$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n\sqrt{n+1}}}}}<3$

Cho $0\leq a\leq b \leq c\leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất của

P=$(a+b+c+3).(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

cho $0\leq a\leq b \leq c\leq 1$

tìm giá trị lớn nhất của

P=$(a+b+c+3).(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

cho $0\leq a\leq b \leq c\leq 1$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$(a+b+c+3).(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

cho x,y,z>0. CMR

$\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\geq \frac{5}{2}$