Đến nội dung

mEgoStoOpid

mEgoStoOpid

Đăng ký: 04-04-2021
Offline Đăng nhập: 09-10-2022 - 15:23
*****

#727606 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi mEgoStoOpid trong 26-05-2021 - 16:03

Bài tiếp theo cho mọi người đây:
$\boxed{136}$. Tìm số nguyên dương $m,n$ sao cho
$$3^m=2n^2+1$$

Em không nghĩ ra được cách nào hay hơn ạ  :( :

                    Dễ thấy $n=3k$ không thỏa mãn

          +) Thử $m = 1,2,4,5,7,8$ thấy chỉ có $(m,n)=(1,1);(2.2);(5,11)$ thỏa mãn

   Với $m> 8$

          +) TH1: $n=3k+1$, $pt<=>3^{m-1}=6k^{2}+4k+1=>k=3k_{1}+2=>3^{m-2}=18k_{1}^{2}+28k_{1}+33=>k_{1}=9k_{2}+1=>3^{m-2}=1458k_{2}^{2}+576k_{2}+57$

                      Đến đây ta thấy VT chia hết cho 9 mà VP không chia hết cho 9 = > Vô nghiệm

          +) TH2: $n=3k+2$, $pt<=>3^{m}=18k^{2}+24k+9=>k=3k_{1}=>3^{m-2}=18k_{1}^{2}+8k_{1}+1=>k_{1}=3k_{2}+1=>3^{m-3}=54k_{2}^{2}+44k_{2}+9=>k_{2}=9k_{3}=>3^{m-5}=2.3^{3}k_{3}^{2}+44k_{3}+1=>k_{3}=3k_{4}+1=>3^{m-5}=2.3^{7}k_{4}^{2}+4.3^{6}k_{4}+531$

                        Ta thấy VT chia hết cho 27 mà VP không chia hết cho 27 => Vô nghiệm

               

             Vậy $(m,n)=(1,1);(2,2);(5,11)$ 

   

P/s: Sở dĩ em nghĩ đến cách này bởi vì hệ số tự do là 1 nên ta có thể liên tục rút gọn đi nó 




#727200 tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $b^2+3a$ chia hết cho $...

Gửi bởi mEgoStoOpid trong 17-05-2021 - 22:41

Lâu lắm rồi em mới có thời gian rảnh để giải bài   :(

        +)Với $a=b=1$ thấy thỏa mãn 

        +)Với $b=1;a> 1=>1+3a\vdots a^{2}=>...$ Không có a thỏa mãn

        +)Với $a=1;b> 1=>b^{2}+3\vdots b=>b=3$

        +)Với  $a^{2}b\neq 1<=>a,b>1 $ :

                Từ giả thiết $=>b^{2}+3a\vdots a=>b^{2}\vdots a=>b^{2}=ka=>ka+3a\vdots a^{2}=>k+3\vdots a=>k+3\geqslant a=>b^{2}\leqslant k(k+3)=>b^{2}\leqslant (k+2)^{2}-k-4$

                             Mà $k\geqslant 1=> k^{2}< b^{2}< (k+2)^{2}=>b=k+1=>k=1=>b=2=>a=4$ (thử lại thấy không thỏa mãn)

         Vậy $(a;b)=(1;1),(1;3)$




#725441 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi mEgoStoOpid trong 15-04-2021 - 17:22

 

$\boxed{96}$ Với m > n và m, n là các số nguyên lẻ. Chứng minh nếu  $\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}$ là số nguyên thì $m^2-n^2+1$ là số chính phương.

 

 

 $\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}$ thuộc $Z<=> \frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}+1$ thuộc $Z<=> m^{2}=k(n^{2}-1)$

            +) $n=1=>m^{2}-n^{2}+1=m^{2}$ (ĐFCM)

              +) $n\neq 1=>n^{2}-1$ chẵn => m chẵn (sai với giả thiết)




#725439 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi mEgoStoOpid trong 15-04-2021 - 17:03

Bài 91: Tìm nghiệm nguyên là các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn

$p+q=(p-q)^3$

                      $pt<=>2q+(p-q)=(p-q)^{3}<=>2q=(p^2-2pq+q^2-1)(p-q)$ 

            Vì $VT > 0 => VP >0 => p> q$

 +)  $q=2=>...$

 +)   Với $(2,q)=1 => \left\{\begin{matrix} p-q=1\\p^2-2pq+q^2-1=2p \end{matrix}\right. ,\left\{\begin{matrix} p-q=2\\p^2-2pq+q^2-1=p \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} p-q=p\\p^2-2pq+q^2-1=2 \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} p-q=2p\\p^2-2pq+q^2-1=1 \end{matrix}\right.=> p=5,q=3$