duchuy3k06

Cũng là phép thế : Từ phương trình (1) ta có $( x+1)( y+1) =4$

Phương trình (2) tương đương với  $( y-1)\left( y^{2} +y+14\right) =6( x-1)( x+1)$, nhân cả hai vế cho $( y+1)^{2}$

$( y-1)( y+1)^{2}\left( y^{2} +y+14\right) =24( x-1)( y+1) =24( xy+x-y-1) =24( 3-y-y-1) =48( 1-y)$

Suy ra y=1 và x=1

15.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác tạo bởi 4 tia phân giác trong của tứ giác ABCD. Tương tự J là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác tạo bởi 4 tia phân giác ngoài của ABCD. Chứng minh I và J đối xứng với nhau qua O

P/s : Góp vui cho mọi người một vài bài, cũng đã khá lâu rồi mình chưa vào lại VMF, kể từ sau vụ diễn đàn bị sập thì mình mới tò mò vào lại. Nhìn topic của bạn làm mình khá là hoài niệm về VMF's Marathon 1 thời. Chúc topic của bạn ngày càng phát triển!

Nếu mình nhớ ko lầm thì bài này trong IMO SL 2012

$\boxed{12}$ Cho tam giác $ABC.$ Đường tròn đi qua hai đỉnh $B,C$ và cắt các cạnh $AB,AC$ tại $D$ và $E.$ Gọi $M$ là giao điểm của CD và BE. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC.$ Chứng minh 4 điểm $A,C,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Ps: Một góp ý nhỏ nho nhỏ, các bạn nên sử dụng phông chữ Times New Roman, cỡ chữ 18 để dễ nhìn và đẹp nữa. Vậy thôi, chúc topic phát triển, mình vốn dốt hình nên không đóng góp được mấy.

Câu a, b có làm một vài lần nên nhớ. Còn câu c thì từ từ.

 

Ta có: $\angle GFB=180-\angle GFA=180-\angle GEA=\angle GEC; \angle GBF=\angle GCE$ (cùng chắn cung GA).

Vậy $\Delta GEC\sim GFB(g.g).$

b) Có $\angle AGK=90^o$ nên $AK$ là đường kính (GEF).

Từ câu a) suy ra $\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{GC}{GB};$ cũng từ câu a) ta có $$\angle EGC=\angle FGB\Rightarrow \angle EGC+\angle  FGC=\angle FGB+\angle FGC\Leftrightarrow FGE=\angle BGC $$

Từ đây $\Delta GEF\sim GCB\Rightarrow \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AK}{AD}.$ (tỉ số đồng dạng chính bằng tỉ số các đường kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác tương ứng)

Hình vẽ.

c) Gọi T là trung điểm FE. Gọi U là tâm của (AFE) cũng là trung điểm AK.

Ta có UM vuông góc FE theo giả thiết.

Mặt khác có △GFT ≅△GBM ( phép đồng dạng tương ứng) ->

△GTM≅△GFB≅△AKD nên ∠AKG=∠GTU hay tứ giác GUTK nội tiếp.

Biến đổi góc cho ta ∠GTK=∠FTK vì UG=UK Xét ∠KTM+90°=∠KGU+90°=(180°-∠GEK/2)+90°=∠GFK

Và ∠GTU+90°=∠GTE.-> ∠GTE=∠GFK Dẫn tới △GFK≅△GTE(g.g) -> Ta có điều phải chứng minh