hanishuri

Bài 4:

Ta chứng minh với mọi $n\in\mathbb{N*}$ phương trình $a^2+3b^2=7^n$ (*) luôn có nghiệm nguyên dương. 

Với n = 1 ta có $a=2;b=1$.

Giả sử với n; $n\in\mathbb{N}*$ phương trình (*) có hai nghiệm a, b. 

Ta có $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2$.

Do đó phương trình (*) cũng có nghiệm nguyên dương với n + 1.

Vậy ta có đpcm.

Ý tưởng bạn đúng nhưng chưa chặt chẽ bởi nếu áp dụng như bạn thì đến $n=2$ là có vấn đề.

Bạn nên bổ sung thêm đẳng thức $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2=(2a-3b)^2+3(a+2b)^2$

Rồi dựa theo tính chất của $a,b$ để lựa chọn khai triển thích hợp.

Câu tổ hợp thì gồm hai câu, trong đó câu $1$ là cơ sở để làm câu $2$:

Chú ý đầu tiên cần lưu ý là tổng các số của một bảng con $2$ nhân $2$ thì không vượt quá $1$.

• Câu $1$ thì ta chia bảng thành hai phần, trong đó phần $1$ là bảng con $2$ nhân $2$ nằm ở góc trên bên trái, phần $2$ là còn lại.

Tổng các số ở phần $1$ thì không vượt quá $1$ còn phần $2$ không vượt quá $4$ bởi ô vuông góc dưới bên phải và hai ô có cạnh chung với nó thì không cùng điền số $1$. 

Cuối cùng, xây dựng trường hợp thỏa mãn. Cái này thì xây dựng tổng quát thì nói sau.

• Câu $2$ thì thì bạn truy hồi tính $S_(n+1)$ theo $S_n$ bằng truy hồi. Thực hiện chia bảng tương tự, trong đó phần $1$ là bảng con $(2n-1)$ nhân $(2n-1)$ và phần 2 là các ô còn lại.

Tổng các ô ở phần $1$ thì không vượt quá $S_n$. Phần $2$, ta chia thành các bảng con $2$ nhân $2$ dọc theo chiều dọc và chiều ngang của bảng. Khi đó, có thêm $2n$ bảng con như vậy và ô ở hàng $2n$ và cột $2n$ được tính hai lần.Dẫn đến tổng các ô ở phần $2$ không vượt quá $2n+2$.

$\Rightarrow S_(n+1) \leq S_(n)+2n+2$. Từ đó được $S_(n) \leq n^2+n-1$.

• Xây dựng trường hợp xảy ra dấu đẳng thức với mọi $n$:

Ta điền số như sau: Tất cả các số ở cột lẻ điền số $1$, các số ở cột chẵn và hàng lẻ điền số $0$, còn lại điền số $-1$.

Có một đẳng thức thế này: \[\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right)\left( {{c^2} + 3{d^2}} \right) = {\left( {ac - 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad + bc} \right)^2} = {\left( {ac + 3bd} \right)^2} + 3{\left( {ad - bc} \right)^2}\]

Nên nếu $(a,b),(c,d)$ là nghiệm của phương trình ban đầu thì $(ac-3bd,ad+bc), (ac+3bd,ad-bc)$ cũng sẽ là nghiệm. Từ đó chỉ cần tìm hai nghiệm căn bản, ví dụ $(1,1),(2,1)$ rồi dùng đẳng thức này mà xây lên họ nghiệm.

Đẳng thức này thì ok mình biết nhưng bạn có chứng minh được dãy nghiệm bạn xây dựng không có trường hợp nào chia hết cho $7$ không? Bởi mình đã thử biến đổi về dạng $(2x+y)^2+3y^2=4.7^n$ nhưng khi thực hiện bước quy nạo tìm nghiệm đều ko chỉ ra được.

Bài 4b thì phân tích $4.7^n = 4x^2 + 4xy + 4y^2 = (x-y)^2 + 3(x+y)^2 = a^2+3b^2$. Giờ xây dưng một họ nghiệm lên theo đẳng thức của bạn hoang72.

Bài này là phương trình Pell trá hình.

Bạn giải thích rõ hơn được không. Bởi phải tìm $a,b$ nguyên và không chia hết cho $7$ thỏa mãn $a^2+3b^2=4.7^n$ mà điều đó chắc gì đã tồn tại với mọi $n$?

Bài 1 ý tưởng khá ổn:
Phần 1 là biến đổi về tổng bình phương rồi chứng minh hệ số >=0
Phần 2 sử dụng dồn biến để đưa về trường hợp a=1