CloudSup

Bài này mình tìm được trên mạng cũng khá hay cho THCS:

Cho 2021 là 1 số tuyệt vời. Với mỗi số nguyên dương m thì các số trong tập ${m,2m+1,3m+1}$ cũng tuyệt vời. Hỏi số $2021^{2021}$ có phải là số tuyệt vời không?

Giả sử ngược lại rằng biểu thức đã cho không chia hết cho 5.

Suy ra $(x,5)=(y,5)=(z,5)=(x+y+z+xyz,5)=1$

Suy ra $(xy+yz+zx+1+x+y+z+xyz,5)=1$

$=>(x+1)(y+1)(z+1)$ không chia hết cho 5.

Do đó x,y,z không chia 5 dư 0 và 4.

Dễ kiểm tra bằng đồng dư thức ta chứng minh được $(xy+yz+zx+1,5)=1$ (vô lí)

=>đpcm

 phepnghichdao.pdf   105.97K   266 Số lần tải

Câu 107:

$p|(n^3-1)=>p|(n-1)(n^2+n+1)$

Mà $n| p-1$$= > p-1\geq n= > p\geq n+1\geq n-1= > p|n^2+n+1$

Đặt $n^2+n+1=kp$

Xét số dư của k cho n do p chia n dư 1 nên k chia n dư 1. Khi đó tồn tại 2 số nguyên dương a và b sao cho $a\geq 1, p=an+1,k=bn+1= > n^2+n+1=(an+1)(bn+1)= > abn+(a+b)=n+1$

Nếu b>0 mà $a\geq 1= > abn+(a+b)\geq n+2 (False)$

Suy ra b=0 hay k=1

$= > p=n^2+n+1=>n+p=(n+1)^2$

Bài này khá hay và cũng có vẻ lạ đối với nhiều bạn học THCS vì nó vượt ra khỏi các phương trình Diophantos như nhiều bài toán trên topic. Mời các bạn thử sức với bài toán sau đây:

Câu 109: Kí hiệu bộ (x,y,z) là ước số dương lớn nhất của các số nguyên dương x,y,z.

              a)CMR: với mọi số M nguyên dương luôn tồn tại các số a,b,c nguyên dương sao cho (a,b,c) =1 và $(a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})>M$

                b) Cho a,b,c là các số nguyên dương có (a,b,c)=1. Tìm tất cả các giá trị có thể của $D=(a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^{2013}+b^{2013}+c^{2013})$

Câu 50: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca\geq 11$. CMR:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq 100$

 BT-hinh-hoc-thay-Trinh.pdf   212.24K   255 Số lần tải