Thanh Long Nguyen

7. Dễ chứng minh ∆DAC cân tại C, ∆AHB đồng dạng ∆CAB, ∆AHC đồng dạng ∆BAC.
Xét ∆AHB có M,D,E thẳng hàng, suy ra DH/DB×EA/EH×MA/MB=1 mà MA/MB=1 do M là trung điểm AB nên BD/DH=EH/EA (1)
Theo tc đường phân giác ta có BD/DH=AB/AH mà ∆AHB đồng dạng ∆CAB, ∆AHC đồng dạng ∆BAC nên BD/DH=AB/AH=CB/AC=HC/AC suy ra BD/DH=HC/DC (∆DAC cân tại C)(2)
Từ (1) và (2) suy ra EH/EA=HC/DC suy ra AD//CE (Thales đảo)

$\boxed{5}$Cho ∆ABC vuông tại A, AB>AC. Kẻ đường cao AH, D là trung điểm AB. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt CD và CB tại F. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AB tại N, đường phân giác ∠BAC cắt CD tại P. Gọi Q là giao đểm của HP và NC. Chứng minh ∆AQC cân và tính số đo ∠QAH.

 Screenshot (1362).png   14.67K   171 Số lần tải

Ta có: $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}=\frac{a}{a^2+abc}+\frac{b}{b^2+abc}+\frac{c}{c^2+abc}=\frac{a}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ab+bc+ca}$
 
$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab})=\frac{a^2+ab+ac}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b^2+bc+ba}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c^2+ca+cb}{c^2+ab+bc+ca}=(1-\frac{bc}{(a+b)(a+c)})+(1-\frac{ca}{(b+c)(b+a)})+(1-\frac{ab}{(c+a)(c+b)})$
Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\geqslant \frac{3}{4}(*)$ 
Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$
Bất đẳng thức $(*)$ trở thành: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geqslant \frac{3}{4}$
Áp dụng Cauchy: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{9}{16}(x+y)(x+z)\geqslant \frac{3}{2}x$
Tương tự ta có: $\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{9}{16}(y+z)(y+x)\geqslant \frac{3}{2}y$; $\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}+\frac{9}{16}(z+x)(z+y)\geqslant \frac{3}{2}z$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+xy+yz+zx]\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}]=\frac{3}{4}(Q.E.D)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ hay $a=b=c=3$

Tại sao bạn nghĩ ra cách giải này vậy? Thật xuất sắc