Giả sử tồn tại số hai số nguyên dương $N$ và $k$ thỏa mãn $\lfloor x_{n+k}\rfloor=\lfloor x_n\rfloor$ với mọi số nguyên $n\ge N_1=N+1$. Vì $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{q^n}=0$ nên tồn tại số nguyên dương $\alpha$ sao cho
\[|x_{N_1+k}-x_{N_1}|>\frac{1}{q^\alpha}.\tag{$\ast$}\]
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn, bắt đầu với $\lfloor x_{N_1+\alpha+k}\rfloor=\lfloor x_{N_1+\alpha}\rfloor$ ta có
\[|x_{N_1+\alpha+k}-x_{N_1+\alpha}|<1\implies \Big|q\{x_{N_1+\alpha-1+k}\}-q\{x_{N_1+\alpha-1}\}\Big|<1.\]
Mặt khác $\lfloor x_{N_1+\alpha-1+k}\rfloor=\lfloor x_{N_1+\alpha-1}\rfloor$ dẫn đến
\[|x_{N_1+\alpha-1+k}-x_{N_1+\alpha-1}|=\Big|\{x_{N_1+\alpha-1+k}\}-\{x_{N_1+\alpha-1}\}\Big|<\frac{1}{q}.\]
Tiếp tục như thế ta có $|x_{N_1+k}-x_{N_1}|<\frac{1}{q^\alpha}$, mâu thuẫn với $(\ast)$.
P.s. Đọc lại thì thấy xét thiếu trường hợp
Nếu $x_{N_1}=x_{N_1+k}$ thì sao? Khi đó sẽ không tìm được $\alpha$.
Dữ kiện $x_1=q$ hay $q$ hữu tỉ không nguyên chưa được dùng, mặc dù nó không thừa. Ví dụ lấy $q=\frac{5}{2},x_1=\frac{5}{3}$ thì $x_n$ luôn bằng $\frac{5}{3}$, hay lấy $q$ là nghiệm lớn hơn $1$ của phương trình $x^3-x^2-2x+1=0$ thì dãy sẽ tuần hoàn với chu kì $2$.