poset

Có $2n$ quả bóng được đánh số $1,2,...,n$ và tô $2$ màu đen trắng, không có $2$ quả nào vừa cùng màu vừa cùng số. Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng trên một đường thẳng thỏa mãn cả hai điều kiện:
a) Quả bóng đen $a$ đứng trước quả bóng đen $b$ khi và chỉ khi quả bóng trắng $b$ đứng trước quả bóng trắng $a$.
b) Quả bóng đen $a$ đứng trước quả bóng trắng $b$ khi và chỉ khi quả bóng đen $b$ đứng trước quả bóng trắng $a$.

Trong trò Tiến lên với $2$ người chơi, ước lượng xác xuất người ra bài trước thắng với các giả định:
- Bài được phát cho mỗi người là hoàn toàn ngẫu nhiên.
- Luật chơi miền Nam tiêu chuẩn với một số thay đổi: không có tới trắng và người ra bài trước được chọn ngẫu nhiên.
- Hai người đều chơi một cách hoàn hảo và họ không có khả năng thu thập thông tin bằng cách nào khác (nhìn cảm xúc, gian lận,...) ngoài phân tích những lá bài đã được đánh.

Cho $q$ là một số hữu tỷ không nguyên lớn hơn $1$. Xét dãy: $x_1=q, x_{n+1}=q\{x_n\}$. Chứng minh rằng dãy $(\lfloor x\rfloor)_{n\in\mathbb{N}}$ sẽ không bao giờ tuần hoàn, tức không tồn tại $N,k\neq 0$ sao cho $\lfloor x_{n+k}\rfloor=\lfloor x_n\rfloor,\forall n>N$.

Cho nhóm hữu hạn $G$ tác động bắc cầu lên tập $S$ hữu hạn, $A,B$ là tập con của $S$. Tìm điều kiện của $A,B$ sao cho $|gA\cap B|=1,\forall g\in G$. 

Cho dãy số nguyên $...,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,...$ bị chặn (tức tồn tại $M$ sao cho $|x_i|<M,\forall i\in \mathbb{Z}$). Giả sử tồn tại các số nguyên $a_1,...,a_n,k_1,...,k_n$ sao cho $\sum_{j=1}^{n}a_jx_{i+k_j}=0,\forall i\in\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $P$ squarefree sao cho $\sum_{j=1}^{n}a_jx_{i+Dk_j}=0,\forall i\in\mathbb{Z},D\equiv 1(mod\; P)$.