Master Of Inequality

cho các số thực dương thỏa $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

giải theo nhiều cách nếu có thể

Cho $(x+y)(y+z)(z+x)\ne 0$ và $x,y,z\geq 0$

Chứng minh

$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{36(xy+yz+xz)}{(x+y+z)^2}\ge 10$

Bạn giải thích kỹ xem!

Lấy c=1,8 nha 

$c=1,8\rightarrow a=b=0,1\rightarrow b^2+bc+c^2=0,01+0,18+3,24=3,43>3$

cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$

chứng minh rằng

$\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq 1$

Liệu còn cách nào khác ngoài cách đi theo hướng 

$\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}) \rightarrow \frac{a^2b}{2a+b}\leq ...$

cho các số thực không âm, và không đồng thời bằng 0, thỏa mãn $a+b+c=2$

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$ chứng minh $b^2+bc+c^2\leq 3$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca>0$

Tìm min của $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}$

$\boxed{12}$ Tìm tất cả các hàm $f: R^+\rightarrow R^+$ thỏa mãn

$f\left(x^2+f(y) \right)=y+f^2(x)$ $x,y$ thuộc $R^+$

$\boxed{13}$ Tìm tất cả các hàm $f: R\rightarrow R+$ thỏa mãn

$f\left(\dfrac{x+y}{x-y} \right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ $x\neq y$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3 (giả thiết có thể không dùng tới)

Chứng minh

$(\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}})^3[a^2b(b+2c)+b^2c(c+2a)+c^2a(c+2b)]\geqslant (\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4$

Không được áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Holder mà phải chứng minh nó trước!

Cho các số nguyên a,b,c,d > 0 thỏa

$(a+bc)(b+ac)=13^d$

Chứng minh d chia hết cho 2

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=BM$

Xét $\Delta ADF$ và $ABM$ có:

$AD=AB$

$\widehat{ADF}=\widehat{ABM}$

$DF=BM$

$\Rightarrow \Delta ADF=\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow AM=AF$

$\widehat{FAD}=\widehat{BAM}$

$\Rightarrow \widehat{FAN}=\widehat{FAD}+\widehat{DAN}=\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=\widehat{DAB}-\widehat{MAN}=90^o-45^o=45^o=\widehat{MAN}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ANF$ có:

$AN$ chung

$\widehat{MAN}=\widehat{NAF}$

$AM=AF$

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta AFN (c.g.c)$

Kẻ $AE$ vuông góc với $MN$

Ta có: $S_{AMN}=S{AFN}$

$\Rightarrow AE.MN=AD.NF$

$\Rightarrow AE=AD$ không đổi vì $MN=NF$

$\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(A,AD)$ cố định.

Cho tam giác nhọn ABC, tia phân tia phân giác góc C, B cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N, biết chu vi tam giác AMN là 14 cm, tính AB+AC. 

Cho các số $a_1$ đến $a_n$ > 0 thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}a_i$ $\geq n$ và $r\geq 1$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a_1^r+a_2+...+a_n}+\frac{1}{a_1+a_2^r+...+a_n}+...+\frac{1}{a_1+a_2+...+n^r}\leq 1$