viscolt0801

$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn: 

$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$

Mình đóng góp 1 cách khác   :

 ĐK: $x \in R$

-Đặt: $\sqrt{9x^2 +16}=t$ (với $ t \geqslant 0$)

$pt \Leftrightarrow 12xt -6x = t +2t^2 -1 \Leftrightarrow 2t^2 +t(1-12x) +6x -1=0$

-Có: $\Delta_{t} = (1-12x)^2 - 8(6x-1)= (12x-3)^2$ 

      $\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=6x-1$. Giải ra ta thu được nghiệm $x=1$ thoả mãn.

$\boxed{\textsf{Bài 42}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $M,N$ là điểm thuộc các cạnh $AB,AC$  sao cho $MN || BC$ và $MN$ không cắt $(I)$. Đường tròn $(J)$ bàng tiếp góc $A$ của tam giác $AMN$, tiếp xúc cạnh $MN$ tại $H$.

1. Chứng minh rằng: $\Delta ABJ \sim \Delta AIN $.

2. Từ $B$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(J)$, tiếp xúc với $(J)$ tại $L$ ; từ $N$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(I)$, tiếp xúc $(I)$ tại $K$. Chứng minh rằng : $\angle ABL + \angle IAB = \angle INK + \angle AIN $.

3. Chứng minh rằng : $DK || HL$

 P/s: Bài này mình sưu tầm, có thể là các bạn gặp ở đâu đó rồi   

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

$\boxed{\textsf{Bài 123}}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, tổng:

      $P = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + ...... + (a+99)^2$ không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn $1$ của một số nguyên dương.

$\boxed{\textbf{Bài 41}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $DE,DF$ tại $M,N$, $NE$ cắt $MF$ tại $H$. Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $DMN$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $D$.

1. Chứng minh: $A$ là tâm $(MNFE)$

2. Chứng minh:  $H$ thuộc $(I)$ và 3 điểm $A,H,L$ thẳng hàng.

3. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $EF$ tại $P,Q$, $LP$ cắt $(O)$ tại $T$ khác $L$. Chứng minh: $PT.PL = PE^2$ và 3 điểm $N,E,T$ thẳng hàng.

4. Chứng minh $(LPQ)$ tiếp xúc $(O)$

  Trích đề thi HSG lớp 9 Thành Phố Vũng Tàu 2020-2021