Tungtom

$\boxed{Problem 32}$Cho tam giác $ABC$, $d$ là một đường thẳng thay đổi cắt các cạnh $AB,AC$ theo thứ tự tại $M,N$ sao cho $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=k(k>0)$. Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Em nghĩ chắc là như thế này ạ.

Gọi $D$ là trung điểm $BC$. $AD \cap MN=E$.

$BG//MN;CF//MN (G,F \in AD)$.

$\Delta BGD= \Delta CFD$$=>DG=DF$.

Ta có: $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AG}{AE}+\frac{AF}{AE}=\frac{AD-GD+AD+FD}{AE}=\frac{2AD}{AE}$.

$=> AE=\frac{2AD}{k}$.

Vì $AE$ có độ dài không đổi và nằm trên đoạn $AD$ $=> E$ cố định.

Như vậy $MN$ luôn đi qua $E$ cố định.