LongNT

Em có bài bđt của xã Kinh Môn mng tham khào

 

Bài này UCT là ra nhỉ

Bạn tham khảo mục 11 trong file này nhé

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $\frac{a}{a^{4}+bc+3}\leq \frac{a}{4a+bc}$ . Mặt khác $\frac{25}{4a+bc}\leq \frac{1}{a}+\frac{16}{3a+bc}=\frac{1}{a}+\frac{16}{(a+b)(a+c)}$ 

Suy ra $\frac{25a}{4a+bc}\leq 1+\frac{16a}{(a+b)(a+c)}$

Đặt P=$\sum \frac{25a}{4a+bc}$, làm tương tự như vậy, ta sẽ có P$\leq 3+\frac{32(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{32(ab+bc+ca)}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=15$

Do đó $P\leq \frac{15}{25}=\frac{3}{5}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq \frac{1}{7}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$. Tìm max của $\frac{1}{\sqrt{2a^{2}+5ab+2b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2b^{2}+5bc+2c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2c^{2}+5ca+2a^{2}}}$

thì H là trực tâm của tam giác AMS thôi bn

mình ko rành định lí này lắm

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$

Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+bc}}$

DE = DF chứng minh như thế nào vậy? Mình cảm ơn!

Thì xét $\Delta KFD$ và $\Delta KED$ có $KF=KE$, $\angle KFD=\angle KED=90$, KD chung

Kẻ đường cao BI, CV

a,Ta sẽ chứng minh $\angle KFC=90$° bằng hệ thức lượng$FC^{2}=CI.Ck$ hay $AC^{2}=CI.CK$ hay $HC.BC=CI.CK$ mà $cosC=\frac{CI}{CB}=\frac{HC}{KC}$ suy ra đpcm

b,Tương tự, ta chứng minh được $\angle KEB=90$
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $FK^{2}=KI.KC$ và $KE^{2}=KV.KB$
Ta cần chứng minh $KI.KC=KV.KB$ hay $\frac{KI}{KB}=\frac{KV}{KC}$ mà  $\frac{KI}{KB}=\frac{KV}{KC}=cosA$ nên ta có đpcm

Tìm tất cả các số nguyên x,y và số nguyên tố p thỏa mãn:$x^{2}-3xy+p^{2}y^{2}=12p$

Cho $\Delta ABC$ có $\angle BAC=60$°, các đường cao AD, BE, CF giao nhau tại H, M là trung điểm của BC. Tìm giá trị lớn nhất của $DE+EF+FD$

43. Gọi H là giao điểm của AI với EF. Dễ thấy AI là trung trực$\Delta AFE$ suy ra $\angle IEK=90-\angle HIF=\angle EAI$ hay $\angle IEK=\angle JAC$

Ta cũng có $\angle AIE=180-\angle JIE=\angle AJC$ suy ra $\Delta IKE\sim \Delta CJA$

Suy ra$\frac{KE}{JA}=\frac{IE}{CA}$

Tương tự có $\frac{KF}{JA}=\frac{IF}{AB}$, từ đó $\frac{KE}{FK}=\frac{AB}{AC}$

Kẻ MP vuông góc AB, MQ vuông góc AC, KR vuông góc AB, KS vuông góc AC

Thấy $\frac{MB}{MC}=\frac{S\Delta ABM}{S\Delta AMC}=\frac{MP.AB}{MQ.AC}=\frac{AB}{AC}.\frac{MP}{MQ}$

Ta có $\frac{MP}{MQ}=\frac{KR}{KS}=\frac{KF}{KE}$ mà $\frac{AB}{AC}=\frac{KE}{KF}$ nên $\frac{MB}{MC}=1$

Hay M là trung điểm của BC

43. Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ I lên BC. CA, AB. Đường thẳng DI cắt EF tại K, AI cắt BC tại J, AK cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm của BC

Cho hình bình hành ABCD có $\measuredangle$ A nhọn và O là tâm hình bình hành.

 

Đường thẳng qua C vuông góc AC và đường thẳng qua A vuông góc BD cắt nhau tại P.

 

Từ P kẻ PM vuông góc với BC và PN vuông góc DC (M thuộc BC, N thuộc DC).

 

a) Chứng minh $\Delta ACP \sim \Delta BSO$

 

b) Chứng minh O, M, N thẳng hàng

 

Nhờ mọi người giúp đỡ ạ! Mình cảm ơn rất nhiều!

Câu a điểm S ở đâu vậy?

32. Cho tam giác ABC có$\angle A=2\angle B= 4\angle C.$ Gọi D,E,F là giao điểm của các đường phân giác trong góc A, B, C với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh tam giác DEF cân

+Theo tính chất đường phân giác ta có AE=\frac{bc}{c+a} và BE=\frac{ac}{a+b}
Cần chứng minh b^{2}+ab=a^{2}+ac mà ab=ac+bc (do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c})
Nên b^{2}+bc=a^{2} (đúng) suy ra AE=BE
+ Xét△AED và △BFD có
AE=BF (cmt)
AD=BD (△BDA cân)
∠DAE=∠DBF (=(1/2)∠A)
Suy ra △AED=△BFD (c.g.c)
Nên ED=FD suy ra △DFE cân