ngtien1255

Một bài tập giải tích thực khá hay cho sinh viên năm nhất và năm hai mà mình mới tìm được.

Cho dãy số thực $(x_n)$ được định nghĩa như sau: $x_0 = a\in (0, 1)$ và \[x_{n+1} = \{10 x_n\}, \quad n\geq 0\] ở đây $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Xét tập hợp $E$ gồm tất cả các số hạng của dãy $(x_n)$.
 

1. $E$ có compact hay không? Nếu không, hãy tìm tất cả các điểm giới hạn của dãy $(x_n)$.
2. $E$ có trù mật trong $[0, 1]$ hay không?
3. $E$ có phải là một không gian khả ly hay không (nghĩa là nó có chứa một tập con đếm được trù mật hay không)?

Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là số nút trên 2 con xúc xắc, khi đó $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân bố đều trên $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Ta cần đi tính \[P(5\leq X + Y\leq 6).\] Ta có \[P(5\leq X + Y\leq 6) = \sum_{5\leq x + y\leq 6} P(X = x)P(Y = y) = \sum_{y=1}^6 P(5 - y\leq X\leq 6 - y) P(Y = y).\] Biểu thức cuối này có thể tính ra cụ thể bằng \[\frac{1}{6}\left(4\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} \frac{3}{2} = \frac{1}{4}.\]

Tổng quát hơn thì nếu $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập, phân bố xác suất của $X + Y$ là \[P(a\leq X + Y\leq b) = \sum_{y} P(a-y\leq X\leq b-y) P(Y = y).\]

Ok, vậy kiểm tra thử xem vàng thau thế nào, vàng thật sợ gì lửa. Bạn ngtien1255 giải thích tại sao nếu $Q$ là một đa thức hủy và $P$ là đa thức cực tiểu thì $P \mid Q$.

Cậu thì học dăm năm nữa rồi hẵng đòi hỏi thi như thầy tôi, nhưng thôi tôi cứ trả lời cho cậu vui. Thích bới lông tìm vết thì xin lỗi chứ phát biểu cái đề của cậu illiterate cả toán lẫn tiếng Việt.

Theo định nghĩa thì đa thức tối tiểu $P$ của ma trận $A$ là đa thức bậc nhỏ nhất nhận $A$ làm nghiệm, tức là $P(A) = 0$. Vậy thì giờ đơn giản là thực hiện chia đa thức \[Q(x) = P(x)H(x) + R(x)\] với $\deg R < \deg P$ nào đó. Do $Q(A) = P(A) = 0$ nên $R(A) = 0$, nhưng vì tính nhỏ nhất của $\deg P$ nên phải có $R \equiv 0$, tức là $P\mid Q$.

Đấy, rồi giờ tôi trả lời sai gì từ đầu nào? Cậu tính lảng tránh việc cậu vô cớ vào công kích tôi trong khi tôi chả phát biểu gì sai phỏng?

Dạ chào các anh. 

Em năm nay chuẩn bị thi ĐH. Em đang phân vân giữa trường SP tỉnh với trường khtnhcm để học toán. Em muốn học về Toán lý thuyết và em biết chọn trường KHTN thì chắc chắn được học nhiều về toán với kỹ hơn rồi. Tuy nhiên, em thấy gần đây các trường ĐH tăng học phí, khá mắc, lại phải học xa nhà nên tiền ăn ở cũng tốn kém nên em dự tính học trường SP cho gần nhà.

Các anh có thể tư vấn giúp em một số thắc mắc được không?

 

1/ Các anh cho em hỏi là học toán ở khtn với sp có khác nhau nhiều lắm không? vì em thấy các môn cũng khá giống nhau, có chăng em thấy bên trường tự nhiên học thêm về đại số và topo, có các môn như đs đồng điều, đs hiện đại, topo vi phân,..đa số là các môn tự chọn.  Và em có tham khảo từ ông anh của em (học trường khác, bên kỹ thuật) thì kiến thức tự chọn đại học đa phần là cơ bản, cưỡi ngựa xem hoa thôi, thầy cô chỉ đưa ra cái sườn cơ bản nên đa phần là tự học, khi nào muốn học sâu thì lên cao học.

 

2/ Vậy học ở trường SP thì khả năng học sâu về toán lý thuyết sau này có thể hay không? Em dự tính học thêm ths về toán ở trường tự nhiên.

 

3/ Nếu học sư phạm thì em cần tự học thêm thế nào để có thể theo được nghiên cứu chuyên sâu như các bạn bên trường khtn. Các môn khó kể trên có thể tự đọc sách được không? 

 

Em cảm ơn các anh đã đọc bài viết của em.

(P/S: Trước em không có học chuyên. Gần đây em có đọc các bài báo trên Pi nên thích học toán chuyên sâu hơn. Còn kiến thức đại học thì em nghĩ em vượt qua đc vì đề các năm em làm thì luôn năm giữa 8-9 nên không lo lắm).

1, Khác biệt lớn nhất nằm ở thầy dạy và bạn học của bạn, không phải chương trình học. Chẳng cần phải chương trình của KHTN HCM, mình ngồi nhà học toán theo chương trình của MIT Harvard cũng được; nhưng môi trường là thứ không dễ dàng thay thế.

2, Tất nhiên là có cơ hội cho bạn. Có thể tốt nghiệp rồi lên học cao học nếu bạn muốn chẳng hạn. Cũng có các cơ hội khác, chẳng hạn như ở đây. Ghi danh vào các sự kiện, chẳng hạn như bạn lên tham khảo VIASM, cũng là cách tìm chỗ giao lưu học hỏi.

3, Tài liệu tự học thì rất rất nhiều học cả đời không hết. Toán cũng dễ tự học hơn nhiều ngành khác, chẳng hạn khoa học xã hội hay khoa học thực nghiệm (tất nhiên không phải dễ về trình độ mà là dễ về điều kiện khách quan cần thiết để tự học).

Chẳng có gì sai cả. Tập hợp rỗng thì bạn thích gán tính chất gì cho nó cũng được.

Bạn có thể tìm đọc abstract algebra (Dummit, Foote) hoặc lên mạng tìm K. Conrad's expository notes.

Nói chung không có cách nào hiệu quả cả. Bằng chứng là e-book của tất cả các nhà xuất bản trên đời này đều có bản lậu cả.

cần gì phải chức cao mới áp dụng được nhỉ? hay nói cách khác là chức bạn cao hay thấp không liên quan gì đến việc bạn có được làm về thứ bạn đã học hay không. Dù chả biết ai là người đã tư vấn cho bạn nhưng mình biết một chuyện: bạn nên đi hỏi người khác.

Ồ học chui kiểu này hay đấy chứ. Nhưng mà liệu có khả thi không nhỉ? Không biết mỗi lớp Toán tầm bao nhiều học sinh, đông đông thì chắc không ai để ý nhưng nếu ít quá thì dễ bị tóm lắm  
 

Xin là được anh ạ. Các lớp vắng < 10 sinh viên thường là lớp hệ tài năng, đa số giảng viên cũng không khó khăn việc "ké" này lắm.

Bài công phu nhưng... hơi bị khó đọc. Bạn xuống dòng và viết hoa khá tùy tiện, chèn tiếng Anh vào những chỗ mình thấy chẳng có gì khó dịch cả như các tiên đề về trường hay well-ordering principle.

Đặt $v = (1, 2, \dots, n)\in \mathbb{R}^n$ thì tập nghiệm của phương trình chẳng qua là không gian con của $\mathbb{R}^n$ trực giao với $v$, cũng tức là trực giao với không gian con sinh bởi $v$. Vậy không gian con này có số chiều bằng $n-1$.

Một cơ sở chẳng hạn là $x_1 = (2, -1, 0, \dots)$,..., $x_{n-1} = (0, \dots, n, -n+1)$.

Vừa mới check thử chương trình của ĐHQG Hà Nội thì thấy là ngoài Toán ra còn học thêm vật lý, tin học (có cả lập trình), robotics. Chương trình có vẻ hiện đại nhỉ, mình cũng thấy khá bất ngờ. Bạn nào quan tâm có thể xem ở đây: http://mim.hus.vnu.e... 10082020_0.pdf (bắt đầu từ trang 16).
 
Có một thắc mắc nhỏ là Lý thuyết độ đo và tích phân tới năm 3 (học kì 5) mới được dạy, sau cả Giải tích hàm?

Môn robotics ở KHTN thật ra dạy khá là cưỡi ngựa xem hoa và học thuộc các khái niệm theo kiểu "thường thức" là chủ yếu. Vật lý thì có môn cơ học chương trình bài bản, chỉ khó thôi .

Còn môn Giải tích hàm thì năm 2 chỉ học không gian Banach, không gian Hilbert và biểu diễn Riesz, bốn định lý cơ bản. Chưa nói gì về các phần liên quan đến độ đo như không gian $L^p$.

Chương trình học đôi khi cũng có mấy bất cập kiểu môn cần trước lại được dạy sau, chẳng hạn có một số khoá thì môn Đại số 3 (về module, dãy khớp, đại số tensor, module trên miền ideal chính) lại được dạy trước môn Đại số đại cương (nhóm, vành, trường cơ bản).

Suy biến vì nó không phải là một lục giác theo nghĩa thông thường thôi.

Nếu ý nói trải phẳng mặt cầu ra thì nói chung là không làm được. Bạn có thể lên mạng tra local isometry, Gaussian curvature để biết rõ hơn.

Nếu muốn đi kiểu "truyền thống" thì bạn đọc trước đại số tuyến tính/giải tích cổ điển cũng được. Hoặc một số chủ đề không cần kiến thức nhiều lắm như toán rời rạc.

Hoặc có thể đi tìm mấy bài giảng đại chúng để xem. Cái này mình không làm nên chịu.