ngtien1255

Một bài tập giải tích thực khá hay cho sinh viên năm nhất và năm hai mà mình mới tìm được.

Cho dãy số thực $(x_n)$ được định nghĩa như sau: $x_0 = a\in (0, 1)$ và \[x_{n+1} = \{10 x_n\}, \quad n\geq 0\] ở đây $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Xét tập hợp $E$ gồm tất cả các số hạng của dãy $(x_n)$.
 

1. $E$ có compact hay không? Nếu không, hãy tìm tất cả các điểm giới hạn của dãy $(x_n)$.
2. $E$ có trù mật trong $[0, 1]$ hay không?
3. $E$ có phải là một không gian khả ly hay không (nghĩa là nó có chứa một tập con đếm được trù mật hay không)?