pkh2705

$\boxed{152}$: Cho số tự nhiên $n>3$ và $p|n$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số nguyên dương $N$, $1<n<2^n$ sao cho $(1+2^p+2^{n-p})N$ chia $2^n$ dư 1.

$\boxed{149}$ : Cho số nguyên dương n thỏa mãn: $(n,n+1)<(n,n+2)<(n,n+3)<...<(n,n+99)$

a, So sánh $(n,n+99)$ và $(n,n+100)$

b, Chỉ ra các quan hệ so sánh có thể có giữa $(n,n+100)$ và $(n,n+101)$

Ta có:
$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\vdots p,$, mà $p-1\vdots n\Rightarrow p-1\geq n \Rightarrow p> n-1$

nên $n^2+n+1\vdots p$

Đặt $p-1=nk(k\in \mathbb{N})\Rightarrow p=nk+1$,

suy ra $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow n^2+n+1\geq nk+1\Rightarrow n(n+1)\geq nk\Rightarrow n+1\geq k$

Lại có $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow k(n^2+n+1)-n(nk+1)\vdots nk+1\Rightarrow nk+k-n\vdots kn-1\Rightarrow (k-1)n+k\vdots nk+1\Rightarrow (k-1)n+k\geq nk+1\Rightarrow k\geq n+1$

Do đó $k=n+1$, suy ra $p=n^2+n+1$

Vậy $n+p=(n+1)^2$ là số chính phương

Vì sao AH = 2OM ạ?

Nó là một kết quả quen thuộc mà bác, em gợi ý chứng minh là : lấy trung điểm của CH và AC

Dựng $O'$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$, $M$ là trung điểm $BC$

Có kết quả quen thuộc $OA$ vuông góc với $EF$; $AH=2OM$ nên $AH=OO'$ và $AH//OO'$

Do đó tứ giác $AHO'O$ là hình bình hành, suy ra $OA//O'H$. Do đó $O'H$ vuông góc với $EF$
Vậy đường thẳng qua $H$ vuông góc với $EF$ đi qua điểm cố định