LegendNeverrDie

• $3(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 9\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq 3$

Xét hiệu: $3(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)=(x^{3}+y^{3}-xy(x+y))+(y^{3}+z^{3}-yz(y+z))+(z^{3}+x^{3}-zx(z+x))\geq 0\Rightarrow 3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geqslant(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geqslant 3(x+y+z) \Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z$

Cộng 2 bđt syt ra ĐPCM

Cho các số thực dương a,b,c,d. CMR:

$\dfrac{a^3}{a^3 + 3bcd}+\dfrac{b^3}{b^3 + 3acd}+\dfrac{c^3}{c^3 + 3abd}+\dfrac{d^3}{d^3 + 3abc} \geq 1$

Có $\large \frac{a^{3}}{a^{3}+3bcd}=\frac{a^{4}}{a^{4}+3abcd}$

Tương tự ...

Áp dụng BĐT cộng mẫu ta có 

$\large \frac{a^{4}}{a^{4}+3abcd}+\frac{b^{4}}{b^{4}+3abcd}+\frac{c^{4}}{c^{4}+3abcd}+\frac{d^{4}}{d^{4}+3abcd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+12abcd}$

Ta sẽ chứng minh $\large (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+12abcd \Leftrightarrow a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2}\geq 6abcd$

(Cauchy 6 số => ĐPCMZ)

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn 
$y^{4}+4xy(x^{2}+y^{2})+6x^{2}y^{2}=4x^{3}+6x^{2}+3x+2$

$\large \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}+4xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2 \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2$ là số chính phương.

Kẹp $\large (x^{2}+2x)^{2}< x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2\leq (x^{2}+2x+1)^{2}$

híc

giới tính nữ

Lê Hoàng Bazorz làz tên con trai mà ông

hình đại diện cx thế

Bài này đăng ở trung học cơ sở thì không hợp lý lắm.

Tại vì ở THCS thì hầu như lẩn quẩn mấy cái đánh giá hoặc chính PT có mấu chốt để giải.

Ở AoPS anh thấy có $1$ bài như vầy hôm qua, dùng cách xét biến thiên của hàm số. 

 

Tuy nhiên đánh giá của Legend không sai. Chỉ là em chưa thử ở vị trí nghiệm.

$y>2$ suy ra $x^2=y^3+1>9$, nên $x>3$ Và $(x+y)^2+2>27$ suy ra $x^3>27$ Đâu thu được điều gì.

tks a