Đến nội dung

LegendNeverrDie

LegendNeverrDie

Đăng ký: 18-05-2021
Offline Đăng nhập: 21-11-2022 - 09:13
-----

#727841 $x^4+y^4+z^4+x^3+y^3+z^3\geq 3+x+y+z$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 04-06-2021 - 14:04

  • $3(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 9\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq 3$

Xét hiệu: $3(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)=(x^{3}+y^{3}-xy(x+y))+(y^{3}+z^{3}-yz(y+z))+(z^{3}+x^{3}-zx(z+x))\geq 0\Rightarrow 3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geqslant(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geqslant 3(x+y+z) \Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z$

Cộng 2 bđt syt ra ĐPCM




#727508 $y^{4}+4xy(x^{2}+y^{2})+6x^{2}y^...

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 23-05-2021 - 18:14

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn 
$y^{4}+4xy(x^{2}+y^{2})+6x^{2}y^{2}=4x^{3}+6x^{2}+3x+2$

$\large \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}+4xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2 \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2$ là số chính phương.

Kẹp $\large (x^{2}+2x)^{2}< x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+3x+2\leq (x^{2}+2x+1)^{2}$




#727465 $\left\{\begin{matrix} y^3=x^2-1 &...

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 22-05-2021 - 22:01

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^3=x^2-1 & \\ x^3=(x+y)^2+2 & \end{matrix}\right.$

$\large \left\{\begin{matrix} y^{2}-8=x^{2}-9\\ x^{3}-x^{2}-4x-6=(y-2)(2x+y+1) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y-2)(y^{2}+2y+2)=(x-3)(x+3)\\(x-3)(x^{2}+2x+2)=(y-2)(2x+y+1) \end{matrix}\right. \Rightarrow (x-3)(y-2)(x^{2}+2x+2)(y^{2}+2y+2)=(x-3)(y-2)(x+3)(2x+y+1)$

  • Với (x-3)(y-2)=0......
  • Với TH2 đánh giá x>1,y>1 => VT>VP



#727384 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 21-05-2021 - 10:27

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

  • Nếu $x>1 \Rightarrow 2^x \vdots 4 \Rightarrow 2^x+5^y+2 \equiv 3 (mod 4)$.(loại vì SCP ko chia 4 dư 3)
  • Nếu $x=1$ ta có $5^y+4=a^2$(Với a nguyên dương)

$\Leftrightarrow 5^y=(a-2)(a+2)$

Mà 5 là số nguyên tố nên $a-2=5^k$ và $a+2=5^t$ (Với $t>k$ và t,k là các số nguyên không âm)

$\Rightarrow 5^kt-5^k=4 \Rightarrow 5^k(5^{t-k}-1)=4$

  • Nếu $k>0 \Rightarrow 5^k \vdots 5$. Mà $5^{t-k} -1$ là số nguyên $5^k(5^{t-k}-1) \vdots 5 \Rightarrow 4 \vdots 5 \Rightarrow$ vô lí 
  • Nếu $k=0 \Rightarrow a=3 \Rightarrow t=1 \Rightarrow y=1$

Vậy ...




#727342 Chứng minh $AI \parallel BE$ , tính $\frac{S_...

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 22:24

 

Từ điểm E nằm bên ngoài đường tròn (O) (OE< 2R) vẽ các tiếp tuyến EA, AB ( A, B là các tiếp điểm) . Lấy M là trung điểm của BE. Kẻ AM cắt (O) ở N. Gọi H là giao điểm của AB và OE. Kẻ cát tuyến ENI với đường tròn (O).

  1. Chứng minh BNM = ABE và tứ giác HNMB nội tiếp
  2. Chứng minh AI// BE
  3. Cho AEB = 1200 , tính S(ABI)/ S (ABE)

 

$\large \widehat{ABE}=120\Rightarrow \widehat{AOB}=60 \Rightarrow \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=30; \widehat{ABI}+\frac{1}{2}\widehat{AOB}=180\Rightarrow \widehat{ABI}=120 .\Rightarrow \bigtriangleup ABI\infty \bigtriangleup AEB\Rightarrow \frac{S(ABI)}{S(AEB)}=\frac{AB^{2}}{BE^{2}}=4\frac{BH^{2}}{BE^{2}}=4.sin60^{2}=3$




#727341 Chứng minh $AI \parallel BE$ , tính $\frac{S_...

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 22:21

 

Từ điểm E nằm bên ngoài đường tròn (O) (OE< 2R) vẽ các tiếp tuyến EA, AB ( A, B là các tiếp điểm) . Lấy M là trung điểm của BE. Kẻ AM cắt (O) ở N. Gọi H là giao điểm của AB và OE. Kẻ cát tuyến ENI với đường tròn (O).

  1. Chứng minh BNM = ABE và tứ giác HNMB nội tiếp
  2. Chứng minh AI// BE
  3. Cho AEB = 1200 , tính S(ABI)/ S (ABE)

 

$\large \widehat{ABE}=120\Rightarrow \widehat{AOB}=60 \Rightarrow \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=30; \widehat{ABI}+\frac{1}{2}\widehat{AOB}=180\Rightarrow \widehat{ABI}=120 .\Rightarrow \bigtriangleup ABI\infty \bigtriangleup AEB\Rightarrow \frac{S(ABI)}{S(AEB)}=\frac{AB^{2}}{BE^{2}}=4\frac{BH^{2}}{BE^{2}}=4.sin60^{2}=3$




#727330 $a.\bar{ab}+10b=10ab$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 20:28

Tìm chữ số a,b thỏa mãn phương trình

$a.\bar{ab}+10b=10ab$

PT <=> 10a2+10b=9ab => 9ab$\large \vdots 5.$.

Mà 5 là số nguyên tố => $\large a\vdots 5    hoặc    b\vdots$ 5

  • a $\large \vdots$ 5=> a=0 hoặc 5 thay vào pt tìm b
  • Tương tự với b$\large \vdots$5



#727324 Cho các số thực dương x,y,z.Tìm GTLN của S=$xy+yz+zx$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 17:24

ý mình là nếu đề là xét các số thực x,y,z thỏa $5x^{2}+16y^{2}+27z^{2}=1$.Tìm GTLN của biểu thức $S=xy+yz+zx$ thì làm sao vậy bạn?

ý mình với mọi x.y là số thực thì 3x2 với 12y2 nó là số thực dương rồi nên x,y là số thực hay số thực dương không quan trọng,vẫn cauchy được




#727323 Tìm GTNN của $P=x+3y$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 17:19

Xét các số thực dương x,y thỏa mãn $xy\geqslant x+y^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+3y$

Ta có xy$\large \geq$x+y2  => x(y-1)$\large \geq$y2

Ta xét 3 trường hơp :

+   y-1<0  =>  x(y-1)<0<y( Do x>0) (Trái với giải thiết => loại )

+   y-1=0. Từ giả thiết ta có x$\large \geq$x+1 (vô lí )

+  y-1>0.Ta có x$\large \geq \frac{y^{2}}{y-1}$.

=>P$\large \geq \frac{y^{2}}{y-1}+3y=\frac{4y^{2}-3y}{y-1}$

Xét hiệu P-9$\large \geq \frac{(2y-3)^{2}}{y-1}\geq 0\Rightarrow P\geq 9$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y=$\large \frac{3}{2} ; x=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn y-1>0)




#727319 Cho các số thực dương x,y,z.Tìm GTLN của S=$xy+yz+zx$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 16:21

Cho mình hỏi là bài này với số thực thì làm sao bạn?

Cauchy với 2 số thực dương 3xvà 12y2




#727307 Cho các số thực dương x,y,z.Tìm GTLN của S=$xy+yz+zx$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 20-05-2021 - 08:31

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $5x^{2}+16y^{2}+27z^{2}=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức S=xy+yz+zx 

Bạn nhóm như thế này rồi Cosy là ra :

      $\large (3x^{2}+12y^{2})+(4y^{2}+9z^{2})+(2x^{2}+18z^{2})$




#727281 Tìm $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$

Gửi bởi LegendNeverrDie trong 19-05-2021 - 15:55

Tìm $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ thỏa mãn $\sqrt{{x_{1}}^{2}-1^{2}}+2\sqrt{{x_{2}}^{2}-2^{2}}+...+n\sqrt{{x_{n}}^{2}-n^{2}}=\frac{1}{2}(x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}+...+x{_{n}}^{2})$

dùng bất đẳng thức cauchy bạn