hovutenha

Giả sử tồn tại các tô thỏa mãn.

Không mất tính tổng quát ta giả sử số $1$ được tô màu xanh.

Trường hợp 1: Nếu số $2$ được tô màu xanh

Do cả 3 màu đều được sử dụng nên tồn tại số $k$ để $k$ không được tô màu xanh. Cũng giả sử luôn số $k$ đó ta tô màu đỏ.

+) Do điều kiện đề bài thì số $k+1$ ta phải tô màu vàng đồng nghĩa số $k+1+1=k+2$ ta phải tô màu đỏ

Tuy nhiên do $2$ được tô xanh nên $k+2$ phải tô màu vàng mâu thuẫn

Trường hợp 2: Nếu số $2$ không tô màu xanh. Giả sử ta tô màu đỏ cho số $2$

Vậy thì $2+1=3$ phải tô màu vàng

$3+1=4$ tô màu đỏ

$4+1=5$ tô màu vàng

Nhưng mà $3+2=5$ tô màu xanh nên có ngay mâu thuẫn

Vì vậy giả sử sai, ta không có cách tô thỏa mãn.

Bất đẳng thức tương đương:

$$\sum (b-c)^2 \left (\dfrac{9a^2+ab+bc+ca}{9(ab+bc+ca)(a+b)(a+c)} \right ) \geq 0$$

Dễ thấy $D$ thuộc tiếp tuyến tại $A$ của $(c)$. 

Có $(A,AP)$ cắt $(D,DA)$ tại $E,F$ và $AP=AD$ nên có ngay $\angle EAF = 120^{\circ}$ và $\angle EAD = \angle FAD = 60^{\circ}$

Suy ra $\angle B =\angle C = 60^{\circ}$ hay có $ABC$ là tam giác đều

theo em hiểu thì hàm sinh:

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty }x^{k}$$

Như vậy thì áp dụng vào hàm sinh: $\frac{1}{1-2(x+x^2+x^3)}$

ta có được:

$$\frac{1}{1-2(x+x^2+x^3)}=\sum_{k=0}^{\infty }(2(x+x^2+x^3))^{k}$$

đây là biểu thức hoàn toàn có thể tìm được hệ số của $x^{10}$. Kết quả cũng ra $\textbf{32256}$

Vậy khi áp vào hàm sinh :

$$\frac{3(1+x+x^2+x^3)}{1-2(x+x^2+x^3)}=3(1+x+x^2+x^3)\sum_{k=0}^{\infty }(2(x+x^2+x^3))^{k}$$

Ta tìm được kết quả là $\textbf{145152}$

 Hình 3.png   53.83K   5 Số lần tải

Trước hết mình sẽ nêu một vài kết quả nổi tiếng (không chứng minh) áp dụng cho bài toàn này.

Trở lại bài toán

Gọi $H,G$ là điểm $Miquel$ của $ABCD$ và trung điểm $EF$. $DJ$ là đường kính của $(EAD)$.

Gọi $d_H$ là đường thẳng $Steiner$ của $ABCD$

Áp dụng $2$ bổ đề trên ta có: 

$(GM,AB)= 90^{\circ} - (d_H,AB) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}sđHJ =  \frac{1}{2}sđ HD = \angle HED$

suy ra tiếp xúc (dpcm)