hovutenha

BĐT tương đương: 

$(\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{a^{3}})ab\geq (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})ab$

$\Leftrightarrow (\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{a})^{2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ , $t\geq 2$

$\Leftrightarrow t^{2}-2\geq t$

$\Leftrightarrow (t+1)(t-2)\geq 0$

dpcm. Dấu "=" khi a=b

cái này dùng định lí viet nhé:
nếu pt dạng: $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thì ta có: $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$ và $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

mình nghĩ bạn chưa học phần này nên chưa biết

Biết trước nghiệm rồi thì bạn cứ chuyển căn về 1 vế, bình phương, phân tích là làm dc:

pt đã cho tương đương:

$(4x^2-1)(x^2-5x+1)=0$

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn

Với trường hợp a(n-2) thì hơi khác một chút:

bạn cũng phân tích từng cái ra rồi ta sẽ có:

$2a_{n}a_{n-2}=2^{2n-2}a_{n}a_{n-2}$

để ý khi ta xét đến a(n-1) thì degP lớn hơn hoặc bằng 2=>n lớn hơn hoặc bằng 2

thay vào bên trên ta có ngay a(n-2)=0

trường hợp a(n-3) n-4 .... ta làm tương tự

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn