Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


hovutenha

Đăng ký: 20-05-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 00:12
-----

#737020 $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb...

Gửi bởi hovutenha trong 31-01-2023 - 20:27

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn




#736684 Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$

Gửi bởi hovutenha trong 08-01-2023 - 22:03

Xét Phương trình bậc 2 ẩn x:

$\Delta = 21y^{2}+20$

để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta$ là số chính phương

Nhưng mà $y^{2}\equiv 0,1,4,7(mod9)\Rightarrow 21y^{2}+20\equiv 2,5(mod9)$ nên $\Delta$ không là số chính phương

nên phương trình vô nghiệm nguyên




#736657 $\angle BDM= \angle BAC$

Gửi bởi hovutenha trong 06-01-2023 - 22:52

Cho $AM$ cắt $(ABC)$ tại E. Lấy D và F trên AE sao cho $\angle BDE= \angle CFE = \angle BAC$ (bạn để ý cách gọi D và F giống cách gọi trong cm định lí ptolemy)

Ta có tam giác ABC cân thì có EA là phân giác góc BEC suy ra tỉ lệ cạnh từ đó ta có $BE = 2CE$

Để ý các tam giác ABC, BDE và CFE là tam giác cân

Ta có : $\frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC} =\frac{2CE}{BC} =\frac{2FE}{AB} \Leftrightarrow DE =2FE \Leftrightarrow DF =FE =FC \Rightarrow \angle DCE = 90^o$

Từ đó có $\angle BAC = \angle CFE= \angle BDE=2\angle CDE$.

Biến đổi trên là hoàn toàn tương đương nên ta có kết quả bài toán.




#736652 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 , biết số đó gồm 2018 chữ số lấy từ t...

Gửi bởi hovutenha trong 06-01-2023 - 20:37

Bài này sử dụng truy hồi

gọi tập số tự nhiên n chữ số chia hết cho 3 là A(n)

gọi tập số tự nhiên n chữ số chia cho 3 dư 1 là B(n)

gọi tập số tự nhiên n chữ số chia cho 3 dư 2 là C(n)

Cần: A(2018)

Bài này cần xét chữ số cuối cùng

xét 1 số thuộc A(n) thì có 2 cách chọn (3,9) chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc A(n+1)

xét 1 số thuộc B(n) thì có 1 cách chọn (5) chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc A(n+1)

xét 1 số thuộc C(n) thì có 1 cách chọn (7) chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc A(n+1)

suy ra: A(n+1) = 2A(n) + B(n) + C(n) 

CMTT ta có B(n+1)= A(n) + 2B(n) + C(n) và C(n+1) = A(n) + B(n) + 2C(n)

suy ra :

A(n+1) = 2A(n) + B(n) + C(n) = 2A(n) + A(n-1) + 2B(n-1) + C(n-1) + A(n-1) + B(n-1) + 2C(n-1)

                                               = 2A(n) - 4A(n-1) + 3(2A(n-1) + B(n-1) + C(n-1))

                                               =5A(n) - 4A(n-1)

=> A(n) = 5A(n-1) - 4A(n-2)

sử dụng phương trình đặc trưng

x^2 - 5x +4 =0 có nghiệm x=1 và x=4

suy ra A(n) = a(1)^n + b(4)^n

có A(1) = 2 và A(2) = 6  thay vào trên và giải hệ ta tìm được a=2/3 và b =1/3

suy ra A(n) = 2/3 + (1/3)(4)^n

suy ra A(2018) = ....

 

hôm nay mạng bị lag nên không gõ được latex, bạn thông cảm nhé!




#736234 $\sum_{cyc}^{} (\frac{a}{2a...

Gửi bởi hovutenha trong 14-12-2022 - 21:02

Cho a,b,c thực dương: CMR:

$(\frac{a}{2a+b})^{3} +(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$




#735932 $\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b}...

Gửi bởi hovutenha trong 28-11-2022 - 15:26

Phương pháp S-S, có

$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c




#735914 $\sum^n_{k=1}{k(C^k_n)^2}=nC^{n-1}_...

Gửi bởi hovutenha trong 26-11-2022 - 22:29

Phương pháp đếm bằng 2 cách: 
Ta sẽ đơn giản hóa bài toán bằng cách coi đề bài là: số cách chọn 1 đội bóng gồm n người (trong đó có 1 đội trưởng) từ 2n người 
Đếm cách 1: ta đếm đội trưởng trước
Có $2n$ cách chọn đội trưởng 
Sau đó ta sẽ đếm đội bóng, lúc này khi đã chọn đội trưởng rồi, thì ta chỉ còn phải chọn $n-1$ người từ $2n-1$ người còn lại tương đương với $C_{2n-1}^{n-1}$ cách chọn
Như vậy theo cách 1 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2n.C_{2n-1}^{n-1}$
Đếm cách 2: ta đếm đội bóng trước 
Chia 2n người cho trước thành 2 nhóm A và B, mỗi nhóm gồm n người, KMTTQ giả sử đội trưởng ở nhóm A
Ta sẽ chọn đội bóng bằng cách chọn $k$ người ở nhóm A, $n-k$ người ở nhóm B và chọn đội trưởng.
Thật vậy ta có: $C_{n}^{k}$ cách chọn người ở nhóm A, $C_{n}^{n-k}$ cách chọn người ở nhóm B và có $k$ cách chọn đội trưởng
Để ý vì đội trưởng có thể ở nhóm B và $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ nên theo cách 2 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
Suy ra: $2n.C_{2n-1}^{n-1}=2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2} \leftrightarrow n.C_{2n-1}^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
đpcm




#735756 $|x_n - \sqrt{2}| < \dfrac{1}{2^n...

Gửi bởi hovutenha trong 18-11-2022 - 22:29

Sử dụng bảng biến thiên thì ta thu được $\frac{11}{8} < x_{3} < \frac{3}{2}$
Trước hết ta cần chứng minh $\left | x_{3} -\sqrt{2}\right |< \frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{-1}{8} < x_{3}-\sqrt{2}< \frac{1}{8}$
Mà điều này dễ dàng chứng minh được với điều kiện của $x_{3}$ ở trên
Nên điều phải chứng minh đúng với $n=3$

Giả sử điều phải chứng minh đúng tới $n=k$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$
Thật vậy ta có:

$\left | x_{k+1}-\sqrt{2} \right |=\left | 1+x_{k}-\frac{1}{2}x_{k}^{2} -\sqrt{2}\right |=\frac{1}{2}\left | (2-x_{k}^{2})+2(x_{k}-\sqrt{2}) \right |=\frac{1}{2}\left | x_{k}-\sqrt{2} \right |\left | \sqrt{2}+x_{k}-2 \right |$
Mà ta có: $\left | \sqrt{2}+x_{k}-2 \right |\leq \left | x_{k}-\sqrt{2} \right |+\left | 2\sqrt{2} -2\right |\leq \frac{1}{2^{k}}+2\sqrt{2}-2\leq \frac{1}{8}+2\sqrt{2}-2< 1$
Suy ra: $\left | x_{k+1} -\sqrt{2}\right |\leq \frac{1}{2}\left | x_{k} -\sqrt{2}\right |\leq \frac{1}{2^{k+1}}$
Theo nguyên lí quy nạp ta có dpcm.