darkangle249

Áp dụng BĐT C-S:

$$\frac{ab}{\sqrt{\frac{ab+bc}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt{\frac{bc+ca}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt{\frac{ca+ab}{2}}}\leq \sqrt{2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]}=2\sqrt{(bc+ca+ab)\left[\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\right]}.$$

Với mọi số thực dương $a,b,c,x,y,z$, ta có:

$$2\sqrt{(bc+ca+ab)(yz+zx+xy)}+ax+by+cz=\sqrt{2(bc+ca+ab)\cdot 2(yz+zx+xy)}+ax+by+cz\leq \sqrt{[2(bc+ca+ab)+a^{2}+b^{2}+c^{2}][2(yz+zx+xy)+x^{2}+y^{2}+z^{2}]}=(a+b+c)(x+y+z)$$

$\Rightarrow 2\sqrt{(bc+ca+ab)(yz+zx+xy)}\leq x(b+c)+y(c+a)+z(a+b).$

Chọn $x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{c+a},z=\frac{c}{a+b}$ ta có

$$2\sqrt{(bc+ca+ab)\left[\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\right]}\leq a+b+c=3$$

$$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{\frac{ab+bc}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt{\frac{bc+ca}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt{\frac{ca+ab}{2}}}\leq 3,$$

hay $$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}.$$

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

lời giải hay quá. cảm ơn bạn

Tham khảo ở đây: https://diendantoanh...c34/#entry72764

cảm ơn bạn nhé. bài gốc là ở link b gửi. mình bị mắc đoạn này nên tạo 1 bài mới. Many thanks

Cách 1: Sử dụng Holder bậc 2 và bdt $8/9$

Cách 2: Ko cần nghĩ nhiều như cách 1:

Đưa về biến $(x,y,z)=(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$

Và dùng bđt Vasc

P.s: oh shit, lúc trưa mình nhầm giữa 8/9 và 4/27

cảm ơn bạn nhiều nhé

đây là lời giải nhé. mình mới nghĩ ra

BĐT $< = > \sum (\frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1)+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

$< = > \sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

mà $\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{4c^{2}}{c(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

tương tự rồi cộng vế

VT $\geq \frac{\sum (a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

$\doteq \frac{6\sum a^{2}+10\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}\doteq$ VP

cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$