darkangle249

cho các số $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+4xy}+\frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3}{2}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc(a+b+c)=3$. chứng minh rằng

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}$, $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ cân

Cho $ a+b+c=6$ chứng minh rằng

$1.T=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+b^{2}+4}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+c^{2}+4}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+a^{2}+4}}\geq \frac{3}{2}$

$2.\sum \frac{x}{\sqrt{2(y^{4}+z^{4})+7yz}}\geq \frac{1}{6}$

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $xy(x+y)=3^{z}-1$

Cho 650 điểm nằm trong một hình tròn với bán kính 16. Chứng minh rằng tồn tại một hình vòng với bán kính trong 2, bán kính ngoài là 3 chứa 10 trong 650 điểm đã  cho (hình vòng là hình tạo bởi 2 hình tròn đồng tâm nhưng bán kính khác nhau, bao gồm những điểm nằm trong hình tròn lớn mà không nằm trong hình tròn nhỏ)

Cho $a\geq 2$, $b\geq 4$, $c\geq 5$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=56$

Tìm min S=a+b+c

cho a,b,c>0. CMR

$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Cho a,b,c,x>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}$

Cách 1: Sử dụng Holder bậc 2 và bdt $8/9$

Cách 2: Ko cần nghĩ nhiều như cách 1:

Đưa về biến $(x,y,z)=(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$

Và dùng bđt Vasc

P.s: oh shit, lúc trưa mình nhầm giữa 8/9 và 4/27

cảm ơn bạn nhiều nhé

đây là lời giải nhé. mình mới nghĩ ra

BĐT $< = > \sum (\frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1)+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

$< = > \sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

mà $\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{4c^{2}}{c(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

tương tự rồi cộng vế

VT $\geq \frac{\sum (a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

$\doteq \frac{6\sum a^{2}+10\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}\doteq$ VP

cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng

$\sum \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$