UserNguyenHaiMinh

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

$A=2^{30}+2^{2010}+4^n=4^{15}+4^{1005}+4^n=\left(2^{15}\right)^2\left(1+4^{990}+4^{n-15}\right)$

Để A là scp thì $1+4^{990}+4^{n-15}$ là scp 

Ta có $1+4^{990}+4^{n-15}>4^{n-15}=\left(2^{n-15}\right)^2$ mà $1+4^{990}+4^{n-15}$ là scp
$\Rightarrow 1+4^{990}+4^{n-15}\ge \left(2^{n-15}+1\right)^2=4^{n-15}+2.2^{n-15}+1$

$\Rightarrow 4^{990}\ge 2.2^{n-15}$

$\Rightarrow 2^{1979}\ge 2^{n-15}$

$\Rightarrow n-15\le 1979$
$\Rightarrow n\le 1994$

Với $n=1994$ ta có $A=2^{30}+2^{2010}+4^{1994}=\left(2^{15}\right)^2+2.2^{15}.2^{1994}+\left(2^{1994}\right)^2=\left(2^{15}+2^{1994}\right)^2$ là số chính phương 
Vậy n=1994

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$

cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không 

Tìm số tự nhiên n, biết :

$\frac{16}{2^{n}}=2$

$\frac{16}{2^n}=2\Leftrightarrow 16=2.2^n\Leftrightarrow 2^n=8\Leftrightarrow n=3$