UserNguyenHaiMinh

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)$

Chứng minh $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{2xyz}$

Cho $x,y \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $x+y=2022$.
Chứng minh $xy \not \vdots 2022$

Giải các hệ pt sau

1,$\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{matrix}}\right.$

2,$\left\{{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}}\right.$

3,$\left\{{\begin{matrix}x^2-xy-xz+z^2=0\\x^2-xz-yz+3y^2=2\\y^2+xy+yz-z^2=2\end{matrix}}\right.$

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).

Cho hình vuông ABCD canh a, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy M là điểm bất kì trên cạnh AB ($M\ne A,M\ne B$), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CM tại H, DH cắt AC tại K.

1, Chứng minh rằng MK song song với BD

2, Gọi N là trung điểm của BC, trên tia đối của NO lấy E sao cho $\frac{ON}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, DE cắt OC tại F. Tính $\frac{FO}{FC}$

3, Gọi P là giao điểm của MC và BD, Q là giao điểm MD và AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác CDQP khi M thay đổi trên cạnh AB