toilaaiiiday

$a,b,c>0$, chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc}\dfrac{4\sqrt{ab}}{2c+a+b}\le\sum\limits_{cyc}\sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}$

Cho tam giác nhọn ABC với $AB \ne AC$ và có trọng tâm G. D là trung điểm BC, T là đường tròn tâm G, bán kính GD và E là giao điểm của I với BC $(E \ne D)$. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng $GA' \perp BC$.

Cho tam giác ABC có O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Gọi M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) và đường thẳng AI, BI. Lần lượt các đường thẳng AC và BC cắt dây cung MN tại D và E. Qua D kẻ đường thẳng song song với AM, qua E kẻ đường thẳng song song với BN, 2 đường thẳng cắt nhau tại H. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh các đường thẳng AN, BM, PH đồng quy hoặc song song.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O). Đường tròn (O) tiếp xúc BC,CA, AB lần lượt tại M,N,P. Chứng minh các trực tâm tam giác ABC, APQ, BOC thẳng hàng

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại M,N,P. Gọi H là trung điểm AP, D là trung điểm BC. Chứng minh D, O, H thẳng hàng.