ATHEIST

Cho một đa giác lồi ( các cạnh của đa giác bằng nhau ) có $n$ đỉnh. Mỗi đỉnh của đa giác đặt một con chuột. Biết vận tốc di chuyển của các con chuột như nhau, hỏi: Nếu các con chuột đồng thời di chuyển đến đỉnh còn lại của đa giác ( theo đường thẳng ) thì xác xuất va chạm của chúng là bao nhiêu?

Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10 chuyên Toán

Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3. (2 điểm) Biết rằng ba số $a,a+k,a+2k$ đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng khi đó $k$ chia hết cho 6.

Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và số nguyên $n$ thỏa mãn $P(2n),P(2n+1)$ đều là số lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ là hai điểm bất kì nằm trên cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BF,CE,EF$. Giả sử đường tròn $(MNP)$ tiếp xúc với $EF$. Chứng minh rằng $OE=OF$.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=60^{o}$; $BC=a$; $AB=c$ ($a,c$ là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật $MNPQ$ có đỉnh $M$ nằm trên cạnh $AB$, $N$ nằm trên cạnh $AC$, $P$ và $Q$ ở trên cạnh $BC$.

1. Tìm vị trí của $M$ trên cạnh $AB$ để hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

2. Dựng hình vuông $EFGH$ nội tiếp trong tam giác $ABC$ bằng thước kẻ và compa. Tính diện tích hình vuông đó.

Tìm giá trị của $n$ thỏa mãn:

$a)x^{2}+x+1|(x-1)^{n}-x^{n}-1$

$b)x^{2}+x+1|(x+1)^{2}+x^{2}+1$