Đến nội dung

Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

Đăng ký: 17-06-2021
Offline Đăng nhập: 24-08-2023 - 18:23
-----

Trong chủ đề: Chứng minh $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca...

22-12-2021 - 09:36

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

$\Rightarrow a^2+bc\leqslant a^2+ca+\frac{c^2}{4}\Rightarrow \sqrt{a^2+bc}\leqslant a+\frac{c}{2}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leqslant \frac{a+3b+2c}{2}$

hay bất đẳng thức mạnh hơn là: $2\sqrt{2(b^2+c^2+ab+ca)}\leqslant a+3b+2c\Leftrightarrow a^2-(2b+4c)a+(b^2-4c^2+12bc)\geqslant 0\Leftrightarrow (b+2c-a)^2+8c(b-c)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị

Bạn có kinh nghiệm hay tài liệu nào để xử lý các bất đẳng thức hoán vị chứa căn hay là các dạng có điểm rơi một biến bằng $0$ hai biến còn lại bằng nhau không?


Trong chủ đề: Chứng minh $OP$ song song $EI$

15-12-2021 - 16:24

Nếu mình gọi giao của $AB,CD$ là $F$ thì chứng minh thêm $OP,EF$ vuông góc như thế nào vậy bạn? Với lại bạn có tài liệu nào nói về ứng dụng của góc định hướng thay cho góc hình học không?


Trong chủ đề: $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=...

07-12-2021 - 21:40

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$

Theo mình biết thì dạng hệ phương trình ba biến $x,y,z$ xử lý bằng bất đẳng thức như này xuất hiện khá nhiều. Bạn có tổng hợp lại vài bài nào không cho mình xin với!


Trong chủ đề: $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathb...

13-11-2021 - 21:55

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.

Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?


Trong chủ đề: Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$

09-11-2021 - 21:10

Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.

Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.

Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.

Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.

$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.

Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.

Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.

Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.

$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.

Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.

Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.

Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)

Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó