Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$
$\Rightarrow a^2+bc\leqslant a^2+ca+\frac{c^2}{4}\Rightarrow \sqrt{a^2+bc}\leqslant a+\frac{c}{2}$
Ta cần chứng minh: $\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leqslant \frac{a+3b+2c}{2}$
hay bất đẳng thức mạnh hơn là: $2\sqrt{2(b^2+c^2+ab+ca)}\leqslant a+3b+2c\Leftrightarrow a^2-(2b+4c)a+(b^2-4c^2+12bc)\geqslant 0\Leftrightarrow (b+2c-a)^2+8c(b-c)\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị
Bạn có kinh nghiệm hay tài liệu nào để xử lý các bất đẳng thức hoán vị chứa căn hay là các dạng có điểm rơi một biến bằng $0$ hai biến còn lại bằng nhau không?