Dennis Nguyen

Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh: $(\frac{a}{b})^2+(\frac{b}{c})^2+(\frac{c}{a})^2+8abc\geq 4$

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$. $AC$ cắt $(O)$ tại $E,F$. $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$. Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.

Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  có $AD,BE,CF$  là các đường cao với trực tâm $H$ và $M$  là trung điểm $BC$  . Gọi  $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AM$  . Giả sử đường thẳng $EK$  cắt các đường thẳng $AB,BC$   lần lượt tại $P,X$; đường thẳng $FK$ cắt các đường thẳng $AC,BC$  lần lượt tại $Q,Y$ .

 1) Chứng minh rằng $P,M,Q$   thẳng hàng.

 2) Các đường thẳng  $AX,AY$ cắt $O$  tại điểm thứ hai là $R,S$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C,R$  cắt nhau ở $G$ và tiếp tuyến tại $B,S$  cắt nhau ở $T$. Chứng minh $TG,AM$  cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(I)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy. (Nếu được thì mong các bạn giải bằng cách không dùng hàng điểm).

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$

Cho điểm $M$ nằm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và các số thực $a,b,c$ (Không phải độ dài các cạnh của tam giác $ABC$) thỏa $a+b+c<0$. Tìm GTLN của: $T=a.MA^2+b.MB^2+c.MC^2$ (Dùng phương pháp vectơ)

Cho $a,b,c$ nguyên dương thỏa $\left\{\begin{matrix} ab\vdots (a+b) & \\ ac\vdots (a+c)& \end{matrix}\right.$. Chứng minh $(a,b,c)>1$.

Cho $x,y,z$ không âm thỏa $3\leq x+y+z\leq 6$. Chứng minh:

$\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}+\sqrt{1+z}\geq \sqrt{xy+yz+zx+15}$

Mọi người làm theo hướng $p,q,r$ giúp mình nhé! Mình đang làm theo hướng đặt $(\sqrt{1+x}, \sqrt{1+y}, \sqrt{1+z})=(a,b,c)$ và đã đưa về được một bất đẳng thức chứa $p,q,r$ rồi nhưng vẫn chưa ra. 

Cho $A=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{N}|x+y+z=10 \right \}$ và $B$ là tập các dãy số gồm hai số $0$ và bảy số $1$ (Chẳng hạn dãy $110111110$). Chứng minh: $|A|=|B|$

Cho tập $X=\left \{ 1,2,3,....,16 \right \}$. Tập con $A$ của $X$ được gọi là có tính chất $P$ nếu tồn tại $a,b$ thuộc $A$ sao cho $a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố.

a) Chỉ ra một tập con ${A}'$ của $X$ có 8 phần tử và không có tính chất $P$

b) Tìm số phần tử nhỏ nhất của tập con $A$ của $X$ có tính chất $P$.

Cho tập $X= \left \{ 1,2,3,....,15 \right \}$ và $M$ là tập con của tập $X$ sao cho tích ba phần tử bất kì thuộc $M$ không là số chính phương. 

a) Chỉ ra tập $M$ có 10 phần tử.

b) Tìm số phần tử lớn nhất của tập $M$.

Cho tập $X\doteq \left \{ 1,2,3,....,9 \right \}$, chia tập X thành hai tập rời nhau A và B. Chứng minh với mọi cách chia, luôn tồn tại ba phần tử $a<b<c$ thuộc cùng một tập sao cho $a+c=2b$.

Cho tam giác nhọn ABC. Hình vuông $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ có các đỉnh A1,A2 thuộc cạnh BC và các đỉnh A3,A4 theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB. Gọi A0 là giao điểm của A1A3 và A2A4. Tương tự, ta xác định các điểm B0,C0. Chứng minh $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ đồng quy.