Dennis Nguyen

Cho $n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho $|a_i|\leq 1, i=\overline{1,n}$ và $a_1+a_2+...+a_n=0$. Chứng minh tồn tại $k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ sao cho: $|a_1+2a_2+3a_3+...+ka_k|\leq \frac{2k+1}{4}$.

$k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$

Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh: $(\frac{a}{b})^2+(\frac{b}{c})^2+(\frac{c}{a})^2+8abc\geq 4$

Xét hàm số $P:R\rightarrow R$ thỏa: Nếu $Q(x)$ là đa thức với hệ số thực, có bậc lớn hơn hoặc bằng $2$ thì $P(Q(x))$ cũng là một đa thức. Chứng minh $P(x)$ là một đa thức.

Tìm tất cả các đa thức khác không $P(x)$ thỏa đồng nhất thức: $P(x^2)\equiv [P(x)]^2, x\in R$

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$.