PoHctbtf

Giả sử a = mid{a, b, c}.

Khi đó $(a-b)(a-c)\leq 0\Rightarrow a^2+bc\leq ab+ac\Rightarrow a^2b^3+b^4c\leq ab^4+ab^3c$.

Từ đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c-a^2b^3+a^4b+c^4a$.

+) Nếu $a\leq b$ thì $a^4b\leq a^2b^3$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+c^4a\leq a(b+c)^4$.

+) Nếu $a\leq c$ thì $a^4b\leq ab^2c^2$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c+ab^2c^2+c^4a\leq a(b+c)^4$.

Do đó ta luôn có $a^4b+b^4c+c^4a\leq a(b+c)^4$.

Ta lại có $a(b+c)^4\leq \left ( \frac{a+4.\frac{b+c}{4}}{5} \right )^5.4^4\leq \frac{4^4}{5^5}$.

Do đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq \frac{256}{3125}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=0;a=1;c=2$.

ơ $a+b+c=1$ mà